Hogy van ez az injektivitás, szürjektivitás?

Ha nem tudod alkalmazni, akkor olyan mélyen mégse érted.

f(x) = 4/x

Ez injektív, mert minden x helyen más értéket vesz fel, azaz nincs olyan f(a) és f(b) ahol ugyanaz lenne az értéke.

De nem szürjektív, mert nem veszi fel 0-t sehol.

f(x) = x^2

Ez nem injektív, mert nem minden x-re különböző.

f(3) = f(-3) = 9

Ugyanakkor szüjektív, mert a R+ halmaz minden értékét felveszi legalább egyszer.

Ha precízen akarom venni, baj van a feladattal...

Ez a jel N->R azt jelenti, hogy a természetes számokhoz rendel, de akkor ez nem is függvény, mert a 0-hoz nem rendel semmit.

A másodikkal meg az a baj, hogy a 0-hoz nem tartozik érték az értékek tartóhalmazában, mert az csak pozitív számokat tartalmaz. Tehát ez sem függvény...

A két feladat egy-egy lehetséges pontosítása:

Z+ -> R , f(x) = 4/x

R\{0} -> R+, f(x) = x^2

Ha mondod a tanárodnak, még egy pirospontot is adhat :)

Ez nem injektív, mert pl. f(1) = f(5) = 3

Nem is szürjektív, mert a "második" N halmazból (az értékek tartóhalmazából) a 0 érték semmihez nincs rendelve, azaz nincs olyan x, amire f(x) = 0.

Nem az én fogalmam szerint, hanem a matematikai definíció szerint.

A szakadási hely az, ahol a függvény nem folytonos. Köze nincs az injektivitáshoz és a szürjektivitáshoz!

A kérdező által megadott első függvény például sehol nem folytonos, mert ahhoz egy x értéknek az ért. tart. torlódási pontjának kell lennie.

Az injektivitás azt jelenti, milyen módon kapcsol össze egy függvény két halmazt. Legyen f: A -> B függvény.

Ha A két különböző eleméhez azonos B-belieket "rendel hozzá" a függvény, akkor már nem injektív. Ehhez még az se kell, hogy A és B halmazok elemei számok legyenek. Megadhatunk pl. olyan injektív (vagy akár nem injektív) függvényt is, mely madarakhoz fészkeket vagy emberekhez dátumokat rendel. Ezekre a függvényekre a folytonosság és a szakadás fogalma nyilván nem értelmes.

Továbbmenve a fenti f: A -> B függvény akkor szürjektív ha minden B-beli elem hozzá van rendelve legalább egy A- beli elemhez. Ennek sincs közvetlen kapcsolata a folytonossággal, még az se kell, hogy számokból álljon A és B.

Bármely függvény injektívvé tehető, ha elhagyjuk belőle a "többszörös" hozzárendeléseket, azaz y=f(x1)=f(x2)=... esetén csak az egyiket tartjuk meg, pl. y=f(x1) -et.

Bármely függvény szürjektívvé tehető, ha kihagyjuk a B halmazból azokat az elemeket, melyeket a függvény nem rendelt hozzá egyetlen A-beli elemhez sem.

Tapasztalat, hogy tanulók azért nem értik az ilyen okoskodásokat, mert a ragozás nem világos nekik. Ez a szakszerű ragozás (nagybetível a lényeges rag):

Az f függvény A halmaz elemeiHEZ "rendel hozzá" B halmazbeli elemekET.

(A "hozzárendel" szó azért lett idézőjeles, mert általános és középiskolai pontatlan szóhasználat. függvény precíz definíciója rendezett párokkal definiál, a függvények speciális relációk.)

Megint elolvastam, úgy érzem, a függvény fogalmát is tisztázni kell.

f: A -> B azt jelenti, hogy minden A-belihez "hozzárendel" egy B-beli elemet az f.

De ha a B-ben nincs benne az az elem, amit a függvény a szabálya szerint egy A-beli x elemhez "rendelne", akkor az x "kimarad" a "hozzárendelésekből". Az is baj, ha a szabály olyan műveletet tartalmaz, amit egy x A-beli szám esetén nem tudunk elvégezni. Ilyenkor is "kimarad" ez az x érték a "hozzárendelésekből". (Pont emiatt kell a függvények mellé ÉT-ra vonatkozó kikötéseket mellékelni.)

Nagyon durván leegyszerűsítve, ha fv-ben látsz x^2 vagy x- valamilyen pozitív hatványkitevős tagot a fv. SZÜRJEKTÍV lesz.

Ha "e az x.-en" illetve "x valamilyen negatív hatványkitevőn" van, akkor INJEKTÍV. Ez ezért van így, mert ha valaminek a 2.-ik gyökét veszed, akkor az mindog pozitív lesz. Pl. 1^2 és (-1)^2 -> ez esetben mindkét érték ugye +1.

Vagyis láthatod, hogy két különboző értékhez: +1 és -1 a fv. 1 értéket rendel, ami tehát az 1.

A szürjektív fv. fogalma azt mondja, hogy a függvény egy elemhez többet is rendelhet. És nem muszáj, hogy a fv. a 2 halmaz mindegyikéhez rendeljen valamit.

Az injektív viszont az, amikor a fv. egy elemhez csakis egyet rendel, és a fv, összes eleméhez rendel valamit.