Két szabályos háromszög egy-egy oldalhosszúságának összege 20cm. Számítsa ki a háromszögek oldalainak hosszát, ha területeik aránya 1:4!?

20/(1+4) = 4

4*1 = 4cm

4*4 = 16cm

Ha a területeik aránya 1:4, az oldalaik aránya 1:2.

Legyen a kisebb háromszög oldala x.

x+2x = 20 cm

3x = 20 cm

x = 20/3 cm (6,6666) -> kisebb háromszög oldalhossza

2x = 40/3 cm (13,3333) -> nagyobb háromszög oldalhossza

Az első akkor lenne jó, hogyha a kerülete aránya lenne 1:4, viszont most a területek aránya van megadva.

Tegyük fel, hogy a nagyobb háromszög területe T, a kisebbiké t, ekkor t:T = 1:4, ami így is felírható: t/T = 1/4, innen kétféleképpen lehet megoldani; az egyik lehetőség, hogy tudjuk, hogy ha két hasonló síkidom oldalainak hasonlósági aránya λ, akkor ugyanez a területek között λ², vagyis t/T=λ², esetünkben 1/4=λ², amire 1/2=λ eredményt kapjuk. Ha a kisebbik háromszög oldala x, akkor a nagyobb oldala 20-x lesz, ezek aránya x/(20-x), ez az a λ, amit az előbb említettem, tehát:

x/(20-x)=λ, de λ értékét az előbb számoltuk ki, 1/2, tehát:

x/(20-x)=1/2, ezt az egyenletet meg tudjuk oldani x-re, és azt kapjuk, hogy x=20/3, tehát a kisebbik háromszög oldala 20/3 cm, a nagyobbiké 20-(20/3)=40/3 cm. Ezek aránya valóban 1/2, tehát jól számoltunk.

A másik megoldáshoz nem kell használnunk a λ-t; érdemes tudni, hogy az x oldalú szabályos háromszög területe x²*√3/4, de úgyis kiszámolható a terület, hogy kiszámoljuk a magasságát a tanult módon, és abból megkapjuk a területet. Tehát, ha a kisebbik háromszög oldala x, akkor területe x²*√3/4, a nagyobbik oldala így 20-x, ennek területe (20-x)²*√3/4, a fentiek fényében ezek hányadosa 1/4:

[x²*√3/4]/[(20-x)²*√3/4] = 1/4, ahol a √3-mal, a 4-gyel tudunk egyszerűsíteni, majd gyökvonás után marad az

x/(20-x)=1/2 egyenletet, amit már előbb megoldottam.

Ha valami nem világos, lehet kérdezni.