Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek egy 10cm hosszúságú húrja a kör középpontjából 120fokos szögben látszik?

A körív és a húr metszéspontjait összekötve a kör középpontjával kapsz egy egyenlő szárú háromszöget, melynek a két szára sugár hosszúságú, a harmadik oldala pedig a 10cm-es húr. Ismered a szárak(=sugarak) által bezárt szöget, tehát például koszinusz tétellel elég könnyű kiszámolni a sugarat. Legyen r a sugár és h a húr hossza:

h^2 = r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(120°)

h^2 = 2*r^2*[1 - cos(120°)]

h=10cm, valamint a cos(120°)=-1/2, így pedig:

100/1.5 = 2*r^2

gyök(50/1.5) = r, az eredményt cm-ben kapod.

De mivel egyenlő szárú háromszögről van szó (és nem is biztos, hogy tanultak még trigonometriát), érdemesebb úgy eljárni, hogy behúzzuk az alaphoz tartozó magasságot, ami felezi a 120°-os szöget, felezi az alapot és merőleges rá, így kaptunk egy derékszögű háromszöget, ahol az egyik befogó hossza 10/2=5 cm, az ezzel szemközti szög 120°/2=60°-os, a háromszög harmadik szöge 30°-os, mivel tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°.

Ha ezt a háromszöget tükrözzük az ismert befogóra, akkor ez és a tükörkép egy szabályos háromszöget fog alkotni, mivel két szöge 60°-os a tükrözés miatt, harmadik szöge 30°+30°=60°-os, tehát valóban szabályos háromszög, amelyről tudjuk, hogy minden oldala ugyanakkora. Ha ennek a háromszögnek minden oldala x hosszú, akkor a magassága, az 5 cm-es szakasz, ami felezi az oldalt (egyrészt azért, mert a szabályos háromszög speciális egyenlő szárú háromszög, másrészt a háromszög tükörtengelye, így kénytelen felezni) és merőleges rá, ezért olyan derékszögű háromszögekre bontja, amelyekben a befogók hossza 5 cm és x/2, átfogója x, erre fel tudjuk írni Pitagorasz tételét:

5^2 + (x/2)^2 = x^2, elvégezzük a hatványozást:

25 + x^2/4 = x^2, szorzunk 4-gyel:

100 + x^2 = 4x^2, kivonunk x^2-et:

100 = 3x^2, osztunk 3-mal:

100/3 = x^2, végül gyököt vonunk:

gyök(100/3)=10/gyök(3)=x, x jelölte a háromszög átfogóját, egyben a kör sugarát, tehát a kör sugara 10/gyök(3) cm, ami átalakítható 10*gyök(3)/3 alakra, hogyha bővítjük a törtet gyök(3)-mal.