Valaki segítene a matek házimban? (11. évfolyam)

[link]

Pitagorasz tétellel:

2*r^2=(r+1)^2

2*(r+1)^2=(2*r)^2

2*r^2=(r+1)^2

2*r^2=(r+1)(r+1)

2*r^2=r^2+2*r+1

2*r^2-r^2=2*r+1

r^2=2*r+1

r^2-2*r-1=0

2*(r+1)^2=(2*r)^2

2*(r^2+2*r+1)=4*r^2

2*r^2+4*r+2=4*r^2

4*r+2=2*r^2

2*r+1=r^2

r^2-2*r-1=0

r1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

r2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

r1=(-(-2)+sqrt((-2)^2-4*1*(-1)))/2*1

r2=(-(-2)-sqrt((-2)^2-4*1*(-1)))/2*1

r1=(2+sqrt(4+4))/2

r2=(2-sqrt(4+4))/2

r1=(2+sqrt(8))/2

r2=(2-sqrt(8))/2

r1=2.41421356

r2=-0.41421356

r=2.41421356

A kör sugara: 2.41421356

A kör középpontja: [2.41421356, 0]

---------------------------------------

[link]

A másik kör hasonlóan helyezkedik el mint az első kör, csak kisebb a mérete.

Ezért elég csak egyenesarányosággal kiszámolni.

Az első kör sugara: r1 = 2.41421356

A második kör sugara: r2 = ???

2*r2+w=1

r1/r2=1/w

r1/r2=1/w

r2/r1=w/1

r2/r1=w

w=r2/r1

2*r2+w=1

2*r2+r2/r1=1

r2*(2+1/r1)=1

r2=1/(2+1/r1)

r2=1/(2+1/2.41421356)

r2=0.41421356

A kisebbik kör sugara: 0.41421356

A kisebbik kör középpontja: [-0.41421356, 0]

Egy fajta megoldás: [link]

Berajzolható a képen látható piros színű háromszög. Ennek egyik csúcsa a kör középpontjában, a másik a kör és az egyenes találkozás pontjában, a harmadik pedig az egyenes és az x tengely találkozási pontjában található. Ez egy egyenlő szárú háromszög. A szárai r (kör sugara) hosszúságúak, az alapja pedig r+1 hosszúságú (mivel az f(x) függvény x=-1-nél metszi az x tengelyt). Ha tudunk (és igenis tudunk) még egy paramétert, akkor ez már le is vezethető és kész eredményt is ad. Ez az adat lehet például a szóban forgó háromszög alapja és valamelyik szára által befogott szög. Ez például az egyenesből könnyen meghatározható, jelen esetben 45°. Ezek alapján már lehet rajta alkalmazni valamilyen szögfüggvényt, a koszinusz teccetősnek tűnik: cos(45°)=( (r+1)/2 ) / r Ezt levezetve megkapható r értéke, ami nem más mint √2+1. Ebből meg már tudni lehet a köt középpontját is, így az egyenlete is felírható.

A másik oldali "kis" kör egyenlete hasonlóan kiszámolható. Oda is ugyanígy be lehet rajzolni azt a háromszöget, aminek az alapja 1-2r+r vagyis 1-r hosszúságú (mivel az f(x) és az x metszési pontja illetve az Origó között 1 egység a távolság, ez további két részre bontható a körre (2r) és a maradékra, ami 1-2r, ehhez az utóbbihoz kell hozzáadni r-et). Ez alapján cos(45°)=( (1-r)/2 ) / r, ami r=√2-1 eredményt ad. Ez után meg úgy ahogy az előbb...

Lehet válogatni a megoldások között. Itt is van egy:

[link]

(Kell magyarázni, hogy a legkisebb távolság a merőleges távolság?)