Épp matek középsuli dogát írtam és nem tudtam megoldani ezt a számelmélet feladatot, valaki elmondaná?

Rossz a témakör.

Majd ha jóban lesz, esetleg segítek.

a.: Elég, hogy páratlan.

(2k+1)^3-(2k+1) = 4k(2k^2+3k+1)

vagy a k vagy a 2k^2+3k+1 osztható 2-vel, így az kifejezés 8-al.

vagy a k vagy a 2k^2+3k+1 osztható 3-vel, így az kifejezés 24-el.

b.: prímtényezős felbontás és megnézed, hogy mi "hiányzik"

c.: ez engem is érdekelne, kb 10 perc alatt nem jöttem rá több időt meg nem akarnék rászánni. Tippre nincs ilyen.

c) 4p+1=k^3 keZ

-ha p=2, akkor 9=k^3, 9 nem köbszám, tehát 2 nem megoldás.

-ha p>2

4p=k^3-1

4p=(k-1)(k^2+k+1)

(4;p)=1 (relatív prímek), ezért

k-1=4 k^2+k+1=p (vagy fordítva)

k=5 p=31, ami megoldás

A másik esetben nem kapunk egész megoldást.

a) (3;8)=1

p^3-p=p(p^2-1)=p(p-1)(p+1), ami három egymást követő egész szám, tehát van köztük 3-mal osztható. P páratlan, ezért p-1 és p+2 páros (oszthatók 2-vel). Az egyik 4-gyel is osztható, szorzatuk pedig 8-cal.

A c-t egy kicsit benéztem.

4p=(k-1)(k^2+k+1)

4p-t többféleképpen és fel lehet bontani. 2*2p, vagy 1*4p, de ezekben az esetekben nem kapunk megoldást.

#6: kis észrevétel

(a;b)=1 és ab=cd ⇏ (a=c és b=d) vagy (a=d és b=c)

pl.: 8*3=4*6

Kicsit több eset van, de csak a k=5 vezet megoldásra.