Valaki segítene ebben a matek háziban? Nagyon nem megy már felette ülök 1 órája

p jelölje a differenciát (mert prím, és én szeretem így jelölni)

Az első 5 tag:

6; 6+p; 6+2p; 6+3p; 6+4p

ezek négyzetösszege: 36 + (6+p)^2 + (6+2p)^2 + (6+3p)^2 + (6+4p)^2, összevonva 30p^2 + 120p + 180, ami szintén tagja a sorozatnak, vagyis létezik olyan K, amelyre

30p^2 + 120p + 180 = 6 + K*p.

Ezt átrendezve: -174 = 30p^2 + (120-K)p = (30p+120-K)*p

Ebből látszik, hogy p osztója 174-nek. 174=2*3*29.

Mivel p-ről tudjuk, hogy 3-nál nagyobb, így csak a 29 lehet.

ha p=29, akkor -174=(30*29+120-K)*29, innen K=996, vagyis a sorozat 997. tagjáról van szó.

Válasz: an=6+(n-1)*29; és a keresett szám a sorozat 997. tagja.

Ell: az első 5 tag: 6, 35, 64, 93, 122, ezek négyzetösszege 28.890, ami valóban a sorozat 997. tagja (28.890 = 6 + (997-1)*29)

Hogyan lehet egy ilyenre rájönni?

Igazából egészen odáig, hogy az első 5 tag négyzetösszegét felírtam, és egyenlővé tettem 6+K*p -vel, odáig csak a szöveg adatait fordítottam le képletre. Itt felismertem, hogy két ismeretlenre van egy egyenletem, azonban a változókról tudjuk, hogy egész számok (diofantikus egyenlet), vagyis a számoknak valami tulajdonságát ki kell még használni, hogy megoldható legyen a feladat. Mivel K-ról nem tudunk semmit, adta magát, hogy p-ről kell kihasználni, hogy prímszám. Ezért hoztam a képletet olyan alakra, hogy: VALAMI SZÁM = (VALAMI)*p, mert ilyenkor a számelmélet alaptétele értelmében a p prímosztója a baloldalon álló számnak, ezesetben a -174-nek. A 174-et felbontottam prímtényezős alakra, amiből látszott, hogy p csak +-2, +-3 vagy +-29 lehet, de mivel a feladat kikötötte, hogy p 3-nál nagyobb, így egyértelműen p=29 a differencia. Innentől pedig a többi rutin számolás. :)

Örülök :D

Emelt érettségire gyakorolsz egyébként? :)