Mikor lesz a legnagyobb a térfogat?

Egyik alapél és oldalél 'a', másik alapél 'b'.

A szabályos-háromszög oldal magassága a·√3/2

A gúla magassága m:

m² + (b/2)² = (a√3/2)²

4m² = 3a² - b²

Térfogata:

V = a·b·m/3

Ez ugyanakkor maximális, amikor b·m maximális (hisz a/3 konstans), az pedig ugyanakkor, amikor a négyzete is maximális, vagy akár amikor b²·4m² is maximális:

b²(3a² - b²)

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget felhasználva felírhatjuk:

(b² + (3a²-b²)) / 2 ≥ √(b²(3a² - b²))

3a²/2 ≥ √(b²(3a² - b²))

A bal oldal konstans, tehát a jobb oldal akkor a legnagyobb, ha fennáll az egyenlőség, vagyis ha:

b² = (3a²-b²)

b = a·√3/2