Valaki segítene ennek a két térgeometria feladatnak a megoldásával?

1.)

A kisebb kocka élhossza legyen „x”.

Térfogata: x³

A nagyobb kocka éle: x+2

Térfogata: (x+2)³.

És:

(x + 2)³ - x³ = 26

►

(x+2)*( x+2) = x²+2*x + 2*x+4

(x²+2*x+2*x+4) * (x+2) = x³+2*x²+2*x²+4*x + 2*x²+4*x+4*x+8

x³ + 6*x² + 12*x + 8

◄

(x³ + 6*x² + 12*x + 8) - x³ = 26

6*x² + 12*x + 8 = 26 │← -26 ┐

6*x² + 12*x - 18 = 0 │← egy-ismeretlenes másodfokú egyenlet ┐

►

(-12 ±√(12² - 4*6*(-18))) / (2*6)

(-12 ±√(144 + 432)) / 12

(-12 ±√(576)) / 12

(-12 ± 24) / 12

◄

x1 = (-12 – 24) / 12 = -36 /12 = -3 ← nem alkalmas megoldás

x2 = (-12 + 24) / 12 = 12 / 12 = 1

V á l a s z :

A kisebb kocka élhossza 1 m, angyobbé (1 m + 2 m =) 3 m.

E l l e n ő r z é s :

3³=27 1³=1 27–1=26

A második feladathoz

Legyen

a:b:c = p:q:r - az élek aránya

p = 1

q = 3

r = 5

F és V mérőszáma azonos

a, b, c = ? - a téglatest élei

A téglatest felszíne

F = 2(ab + bc + ac)

A térfogata

V = abc

A felszín képletében a jobb oldalon kiemelve

F = 2abc(1/a + 1/b +1/c)

A zárójel előtt a térfogat van, így

F = 2V(1/a + 1/b + 1/c)

Mindkét oldalt 2V-vel osztva

F/2V = 1/a + 1/b + 1/c

Mivel F és V mérőszáma megegyezik, egyszerűsíthetünk, így marad

1/2 = 1/a + 1/b + 1/c

Az oldalarányok ismeretében az oldalak valódi hossza (n - az arányossági tényező)

a = n*p

b = n*q

c = n*r

Ezeket az utolsó képletbe behelyettesítve

1/2 = 1/(n*p) + 1/(n*q) + 1/(n*r)

A jobb oldalon közös nevezőre hozva

1/2 = (pq + qr + pr)/(n*pqr)

Mindkét oldalt n-nel szorozva és a jobb oldalon tagonként elosztva lesz

n/2 = 1/p + 1/q + 1/r

Ebből az

n = 2(1/p + 1/q + 1/r)

================

A arányossági tényező ismeretében az oldalak már számíthatók

A példa adataival

n = 2(1/1 + 1/3 + 1/5)

Összevonás után

n = 46/15

Ezzel az oldalak

a = 1*(46/15)

b = 3*(46/15)

c = 5(46/15)

===========

Ezen az általános megoldáson kívül természetesen más megoldás is van.

DeeDee

**********

Egy megoldás azoknak, akik jobban szeretik a számokat, mint az algebrát (egy kevés azért itt is kell :-))

Az ilyen jellegű feladatoknál az arányossági láncban szereplő értékekkel bíró objektum hasonló a megoldást jelentő valódi objektumhoz.

Nevezzük a láncban szereplő értékeket alapértékeknek, azaz

a0 = 1

b0 = 3

c0 = 5

Ezekkel kiszámítható az F0 alapfelszín és a V0 alaptérfogat.

A hasonlóság miatt a valódi felszín az arányossági tényező (n) második, a térfogat az arányossági tényező harmadik hatványával arányos, vagyis

F = n²*F0

a térfogat

V = n³*V0

A feladat feltételei szerint a két érték hányadosa 1, azaz

F/ V = n²*F0/n³*V0 = 1

A jobb oldali egyenletből

n²*F0/n³*V0 = 1

egyszerűsítés után marad

(1/n)*(F0 / V0) = 1

Mindkét oldalt n-nel szorozva az arányossági tényező

F0 / V0 = n

Az alap objektum felszíne és térfogata az alap értékekkel

F0 = 46

V0 = 15

így az arányossági tényező

n = 46/15

=======

ugyanaz, mint az elő megoldásban.

DeeDee

***********