Határozzátok meg a halmazt:A={x eleme Z/ 4x+3 törve 3x+2 eleme Z}Próbáltam megoldani, de nem sikerült. Segitenétek?

Csak egyszer lesz egész szám, ha x=-1 akkor 1.

Egyrészt tudjuk, hogy lim {x-> +-végtelen} (4x+3)/(3x+2) = 4/3

tehát ezt fogja közelíteni.

Átírhatjuk úgy, hogy 4/3 + (1/3)/(3x+2)

A 2. tag nevezője abs. értékben legalább 1, tehát a 2. tag max. 1/3

Ebből köv. hogy csak a fenti megoldás van.

Az a kérdés, hogy milyen egész x-re lesz a (4x+3)/(3x+2) tört értéke egész. Érdemes szétbontani; a számlálót írjuk át így: (3x+2+x+1)/(3x+2), ekkor a törtek összeadására vonatkozó szabály szerint szétbonthatjuk a törtet így:

(3x+2)/(3x+2) + (x+1)/(3x+2)

Látható, hogy az első tört összege 1, 1+valami úgy lehet egész, hogyha a valami is egész. A másik tört értéke csak akkor lehet egész, hogyha a számláló abszolutértéke nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező abszolutértéke (ez alól van 1 kivétel, lásd később), tehát meg kell oldanunk az

|x+1|>=|3x+2| egyenlőtlenséget. Esetszétválasztást kell csinálni attól függően, hogy melyik intervallumon milyen ezeknek az előjele;

Ha x+1>=0, akkor x>=-1

Ha x+1<=0, akkor x<=-1

Ha 3x+2>=0, akkor x>=-2/3

Ha 3x+2<=0, akkor x<=-2/3

Ezek szerint 3 intervallumon kell vizsgálódnunk; (-végtelen;-1]; [-1;-2/3]; [-2/3;végtelen).

Ha az első intervallumot vesszük, akkor mindkettő negatív, vagyis az abszolutérték definíciója szerint a kifejezések abszolutértéke azok ellentettje lesz (mint ahogyan |-5|=5, az 5 a -5-nek ellentettje):

-(x+1)>=-(3x+2) |zárójelbontás

-x-1>=-3x-2 |+3x; +1

2x>=-1 |:2

x>=-1/2

Az alaphalmaz a (-végtelen;-1] volt, ebből kellene kiválasztani a -1/2-nél nagyobb számokat. Mivel nincs ilyen, ezért ebben az esetben nem találtunk megoldást.

A második intervallumon a bal oldal értéke negatív, így annak újra az ellentettjét kell vennünk, a másik viszont pozitív, így az változatlanul marad (mint ahogyan |6|=6):

-(x+1)>=3x+2 |zárójelbontás

-x-1>=3x+2 |+x; -2

-3>=4x |:4

-3/4>=x

Ebben az esetben van közös metszet, a [-3/4;-2/3] intervallum, ám ebben az intervallumban nincs egész szám, tehát itt sincs jó x.

Harmadik eset: mindkettő pozitív:

x+1>=3x+2 |-x; -2

-1>=2x |:2

-1/2>x, itt a metszet a [-2/3;-1/2] intervallum lesz, ami szintén nem tartalmaz egész számot.

Tehát sosem lesz olyan, hogy a számláló abszolutétéke nagyobb lenne, mint a nevezőé, tehát hányadosuk nem lehet egész. De ha lett is volna olyan, az biztos, hogy 0-tól különböző lett volna, és ezzel el is érkeztünk a kivételhez; akkor lehet 0 a hányados, hogyha a számláló értéke 0, ez x=-1-nél fog bekövetkezni, kérdés azonban, hogy a nevező értéke mi lesz; 3*(-1)+2=-1, ami nem 0, tehát el lehet végezni az osztást.

Ezek szerint 1 darab egész x van, amire a tört értéke egész lesz, az a -1, tehát A={-1}.

Ez elsõ megoldás kicsit átfogalmazva (redundánsra):

Feladat: (4x+3)/(3x+2) milyen egész x estén egész?

Megoldás: azt fogjuk megmutatni, hogy szinte soha nem lehet az.

Belátjuk, hogy a tört értéke közel van a 4/3-hoz tehát nem egész.

Átírjuk a törtet

> (4x+3)/(3x+2) = 4/3 + (1/3)/(3x+2)

alakba. (Ellenõrizd le, hogy jó átírás, szorozd be (3x+2)-vel mindkét oldalt.)

A 4/3 az nem egy egész szám. Ha csak egy kicsi (rövid) számot adunk hozzá, akkor szintén nem kaphatunk egészet. Szerencsénk van, mert amit hozzáadunk, az mindig nagyon rövid, méghozzá az abszolút értéke mindig kisebb vagy egyenlõ, mint 1/3 (általában sokkal kisebb), és ez nekünk elég is.

4/3 -hoz a legközelebbi egész szám az 1, ezt még elérhetjük:

> (1/3)/(3x+2) = -1/3

> 3x+2 = -1

> x = -1

Esetén. Minden más x egészre a

> (1/3)/(3x+2)

értéke, vagyis amit még hozzáadunk a 4/3-hoz sokkal rövidebb lesz (abszolútértékben kisebb), mint 1/3 (1/3 -t osztunk egy egésszel, tehát 1 hosszú, vagy még hosszabb számmal, ez kevesebb lesz, mint 1/3); tehát a 4/3 közelében marad a tört értéke, és esélye nincsen hogy mondjuk 1 vagy 2 legyen az összeg ha x nem -1, és egész.

(Ha x nem egész, akkor ez a tört minden egész számot fölvehetne. Akkor az

> (1/3)/(3x+2)

tagra nem mûködne a becslésünk, nem lenne feltétlenül rövid. Amikor a nevezõ kisebb abszolútértékû, mint 1, akkor jó nagyra megnõhet az értéke, és így a tört értékének a távolsága is 4/3-tól. Egész x esetén, vagyis amikor

> |3x+2| >=1,

akkor ez nem fordulhat elõ)

Ábra:

> [link]

A google szépen ki is rajzolja neked hogy hogyan néz ki a függvény -- egy eltolt hiperbola. Szemmel láthatóan majdnem mindenhol 4/3-hoz közeli értéket vesz fel, ahol meg nem olyat vesz fel, ott meg az x nem egész.

Ez így érthetõ egy nyolcadikosnak?

Feladat: határozd meg ugyanezt az

> (x+1)/(2x+1)

törtre.

Na akkor egy kicsit rövidebben:

Ha (4x+3)/(3x+2) egész szám, akkor ennek 3-szorosa is az:

(12x+9)/(3x+2) egész szám kell legyen.

(Ez persze több olyan x esetén is egész lehet, ami esetén az eredeti hányados nem egész, de a rosszakat kiszűrjük majd.)

Most létrehozzuk a számlálóban a nevezőt, és szétszedjük:

(12x+9)/(3x+2)=(12x+8+1)/(3x+2)=

4+1/(3x+2)

Ez csak akkor lesz egész, ha 3x+2=1 vagy 3x+2=-1.

Előbbi esetben x nem egész, utóbbi esetben x=-1.

Ellenőrizve:

(4*(-1)+3)/(3*(-1)+2)=(-1)/(-1)=1

Tehát csakis x=-1 esetén lesz egész a tört.