Hány dimenziós alteret feszítenek ki az alábbi bázisok? Mi az ezekhez tartozó ortonormált bázis, ami ugyanezt az alteret feszíti ki? Mi az altérre merőlegesen vetítő projektor?

Huhh, régen volt, és túl egyszerűnek tűnik így elsőre...

Mivel altérre kérdezel rá, feltételezem, hogy euklideszi az alap vektortered (pl valós).

Az első kérdésre a válasz az, hogy annyi dimenziós alteret feszítenek ki, amekkora a rangja az általuk képzett mátrixnak (bár akkor nem értem, miért írod úgy, hogy az "alábbi bázisok", mert ezek nem bázisok, még csak nem is bázisvektorok, egyszerű vektorok (a vektortér elemei)).

Vagyis Gauss-elimináció, ami által azt kapjuk, hogy 2 a rangja, vagyis kétdimenziós alteret feszítenek ki. A számítást nincs energiám leírni, biztosan tanultátok, ill Google...(vagy egyszerűen csak Wolfram Alpha).

Megintcsak túl egyszerű: az ON-bázis (1,0)^T, illetve (0,1)^T (esetleg hozzátenni a maradék két koordinátára a 0-t: (1,0,0,0)^T, (0,1,0,0)^T).

A projektor: ugye az kell, hogy erre a síkra vetítsen. Vagyis P (proj.) mátrixa olyan, hogy a főátló első két eleme 1, a többi elem mind 0. És ez tényleg projekció, mert P^2(x1,x2,x3,x4)=P(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,0,0).