Mutassuk meg, hogy ha n nem oszthato 5-tel, akkor n = 1 kivételével n^4 + 4 sosem lesz pírm?

Adjunk hozzá 4n^2-et, majd vegyük is el:

n^4+4n^2+4-4n^2

Az első 3 tag egy teljes négyzet:

(n^2+2)^2-4n^2

Ezt pedig átalakíthatjuk az a^2-b^2 alakú kifejezésekre ismert azonosság szerint:

(n^2-2n+2)*(n^2+2n+2)

Ezek az egész számok halmazán már tovább nem bonthatóak, tehát ez csak akkor lehet prím, hogyha az egyik tag 1, a másik egy prímszám. Innen két egyenlet felírása van hátra, szerintem be tudod fejezni.

A #1 megoldás nagyon szép, azt sem használta fel, hogy n nem osztható 5-tel. (Magyarul: 5-tel osztható n esetén sem prím n⁴+4)

Másik, primitívebb bizonyítás:

Ha n nem osztható 5-tel, akkor n=5k+m, ahol m=1,2,3,4 valamelyike.

(5k+m)⁴ + 4 = (5k)⁴ + 4·(5k)³·m + 6·(5k)²·m² + 4·(5k)·m³ + m⁴ + 4

Az utolsó kettő kivételével mindegyik tag osztható 5-tel. Nézzük m⁴+4-et:

1⁴+4 = 5

2⁴+4 = 20

3⁴+4 = 85

4⁴+4 = 260

Ezek is mind oszthatóak 5-tel.

Ezzel a módszerrel persze azt nem lehet bizonyítani, hogy n=5k esetén sem prím a kifejezés, de végülis az nem is volt kérdés.