Tudom, nem illik ilyet kérni, de le tudná ezt nekem vezetni valahogy? Sehogyan sem értem. Y' (x) = y (x) + e^x

Hogy jobban látszódjanak a dolgok, vigyük a bal oldalra azokat, amikben y van, a jobb oldalra meg minden mást.

  y' - y = e^x

Ez egy lineáris elsőrendű inhomogén diffegyenlet.

- lineáris: nincs y-ok szorzata (négyzete, stb.)

- elsőrendű: csak egyszeres derivált van benne

- inhomogén: van olyan tag, amiben nincs y (vagyis nem 0 a jobb oldal)

Először ennek a homogén diffegyenlet párját kell megoldani (vagyis a jobb oldal 0):

  y' - y = 0

  y' = y

Most jön egy trükk:

  dy/dx = y

Szeparáljuk a változókat: Legyen minden y a bal oldalon, minden x (dx is) a jobbon (szorzással, osztással, nem kivonással lehet ezt elérni):

Most y-nal akarunk osztani. Megoldás lenne az is, hogy y=0, de nemnulla megoldást keresünk.

  dy / y = dx

és már csak oda kell rakni az integrál jeleket:

  ∫ 1/y dy = ∫ 1 dx

  ln y = x

(Lehetne itt odairni a +c tagot, de úgyis lineáris kombinációt kell majd csinálni az általános megoldáshoz.)

  y = e^x

Ez csak egyetlen megoldás. Mivel elsőrendű az egyenlet, egy megoldás-függvény kell. A homogén diffegyenlet általános megoldása ennek a konstans-szorosa (a lineáris kombináció egy függvény esetén simán csak konstans szorzás):

  y = C·e^x

Az eredeti inhomogén diffegyenlet megoldása ennek a homogén általános megoldásnak és az inhomogén egyenlet egyetlen konkrét ("partikuláris") megoldásának az összege.

A partikuláris megoldást mindig y(x) = c(x)·φ(x) alakban érdemes keresni, ahol φ(x) a homogén egy megoldása (esetünkben e^x), c(x) pedig valamilyen függvény, mit most keresünk.

Helyettesítsük be ezt az eredeti inhomogén függvénybe:

  (c(x)·e^x)' - c(x)·e^x = e^x

  c'(x)·e^x + c(x)·e^x - c(x)·e^x = e^x

  c'(x) = 1

Integráljuk:

  c(x) = x

Csak egyetlen partikuláris megoldás kell, tehát az integráláskor a +c nem volt érdekes.

Tehát az ihomogén egyenlet partikuláris megoldása x·e^x

Az inhomogén általános megoldása pedig:

  y(x) = C·e^x + x·e^x