Hogyan oldjam meg a valós számok halmazán ezeket az egyenleteket?

Az elsőnél leginkább "próbálgatással" lehet célhoz érni. Pl. az x=1 az jó. A szigorú monotonitás felhasználásával pedig belátható, hogy ez az egyetlen megoldás.

A másodiknak nem lesz valós gyöke, ez szintén függvényvizsgálattal belátható.

A második esetben a=2^x és b=3^x jelöléssel:

(a^3+b^3)/(a^2b+ab^2)=7/6

felhasználva a köbösszeges azonosságot, a nevezőben pedig kiemeljük, amit lehet:

(a+b)(a^2-ab+b^2)/[(ab(a+b)]=7/6

egyszerűsítés után:

(a^2-ab+b^2)/(ab)=7/6

szorozzunk be a nevezőkkel:

6a^2-6ab+6b^2=7ab

6a^2-13ab+6b^2=0

most osszunk b^2-tel, így (a/b)^-re másodfokú egyenletet kapunk:

6(a/b)^2-13(a/b)+6=0

megoldóképlettel:

a/b=2/3 vagy a/b=3/2

azaz (2/3)^x=2/3 vagy (3/2)^x=2/3

amiből: x=1, vagy x=-1

A második egyenletre is jó az x=1 megoldás, nem gondoltam teljesen végig.

Mellesleg, arra gondoltam, ha adott egy

f(x)=g(x) egyenletünk, bonyolult f és g fv.-el, akkor azokat célszerű lehet külön-külön vizsgálni. Ért.tartomány, értékkészlet, monotonitásvizsgálat. Hol konvex, hol konkáv, hol nő, hol fogy, stb.

Pl. tegyük fel, h. sikerült igazolni hogy valamely [x0,x1] intervallumban mindkettő szigorúan monoton növő.

Ekkor ha sikerül találni egy olyan h-fv.-t, amely [x0,x1]-en értelmezve van és ő majorálja f-et, azaz minden x eleme [x0,x1] esetén h(x)>f(x), valamint teljesül még az

g(x)>=h(x) minden x eleme [x0,x1] esetén, akkor az

f(x)=g(x) egyenletnek biztosan nem lesz valós megoldása.

Ennek akkor van jelentősége, ha f és g igen bonyolult, h viszont lényegesen egyszerűbb alakú.

Mellesleg nemértem miért lettem lepontozva...