SOS! Számítsuk ki az ABC háromszög köré írt kör középpontjainak koordinátáit, valamint a kör sugarát, ha A (6;2) B (-1;-5) C (7;-5)?

Ugyanez más adatokkal:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Hát azt is lehet csinálni de azért nem kell ennyire szörnyen elbonyolítani. A kör képlete (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Beírod a három megadott x,y párost (a-6)^2+(b-2)^2=r^2 , (a+1)^2+(b+5)^2=r^2 , (a-7)^2+(b+5)^2=r^2 . Három egyenlet három ismeretlen és a másodfokú tagok csak úgy hullanak...

Hát ha az utóbbi kettőt kivonod egymásból az jön ki hogy (a+1)^2=(a-7)^2 amiből az jön ki hogy a^2+2a+1=a^2-14a+49 => 16a=48 => a=3. Azaz 9+(b-2)^2=r^2 , 16+(b+5)^2=r^2 , megint kivonunk egy jót 7+(b+5)^2-(b-2)^2=0, vagyis b=-2 (itt kihagytam pár triviális lépést, valamit dolgozzál te is), visszahelyettesíted, r=5.

A kör képlete (x-3)^2+(y+2)^2=25 visszahelyettesíted a három pontot ellenőrzésképpen, könnyen kijön hiszen mindig +-3,+-4-eket kell négyzetre emelni, tehát helyes.

A fenti utalásban is írtam, hogy ilyenkor a kör „középponti” egyenlete helyett sokkal célszerűbb az „általános” egyenlet használata:

x² + y² + Ax + By + C = 0

(x,y)-ba a pontokat behelyettesítve:

40 +6A + 2B + C = 0

26 - A - 5B + C = 0

74 +7A - 5B + C = 0

Az első két, majd második két egyenletet egymásból kivonva és egyszerűsítve:

2 + A + B = 0

6 + A = 0 → A=-6

Visszahelyettesítések után: B=4

C=-12

Tehát a kör általános egyenlete:

x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0

melyet középpontosra átírni már nem lehet gond:

(x-3)² + (y+2)² = 25

Mint a legtöbb hasonló koordinátageometriai feladatnak, ennek is sokféle megoldása lehet. Nagyjából két stratégia létezik:

(1) Van ami szerkesztéssel megoldható és a szerkesztés lépéseinek számítási műveletek feleltethetők meg.(#2)

(2) Algebrai úton, egyenlettel, egyenletrendszerrel, bár a számolás lépéseit nem tudjuk geometriailag követni. (#3,#4)

Ennél - és sok hasonló körös - feladatnál célszerűbb a (2) módszer, sőt a geometriai tulajdonságot leíró középponti egyenlet(#3), helyett is az un. általános egyenlet használata(#4).

Persze van sok más feladat, ahol inkább az (1) stratégiát érdemes követni.