Ezeket a feladatokat hogyan kell megcsinálni Szinusz tétellel?

1.

α = 34,4°

β = 76,2°

b - a = 7,5 cm (a nagyobb szöggel szemközt van a nagyobb oldal!)

azaz: a = b - 7,5 cm

szinusztétel:

sin(α) / sin(β) = a / b

sin(α) / sin(β) = (b - 7,5) / b = 1 - (7,5 / b)

Átrendezve:

7,5 / b = 1 - (sin(α) / sin(β))

b / 7,5 = 1 / (1 - (sin(α) / sin(β)))

b = 7,5 / (1 - (sin(α) / sin(β))) = ?

a = b - 7,5 cm = ?

2.

α = 43,8°

β = 64,7°

γ = 180° - α - β = ?

K = a + b + c = 14 cm

a = ?

b = ?

c = K - a - b = ?

Tehát igazából csak két ismeretlen van: az a és a b oldal hossza, ezekből és a kerületből ki lehet számolni a c oldal hosszát.

Írjunk fel 3 szinusztételt:

sin(α) / sin(β) = a / b

sin(α) / sin(γ) = a / c = a / (14 - a - b)

sin(β) / sin(γ) = b / c = b / (14 - a - b)

Igazából a fentiek közül 2 is elég, mivel csak két ismeretlen van, a bal oldalak konstansok/ismertek.

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani, például:

Az elsőből kifejezed a-t:

a = b * sin(α) / sin(β)

Azt behelyettesíted a 2. egyenletbe (és elfelejtjük a 3. egyenletet, mert mint mondtam, nincs rá szükség):

sin(α) / sin(γ) = (b * sin(α) / sin(β)) / (14 - b * sin(α) / sin(β) - b)

(14 - b * sin(α) / sin(β) - b) * sin(α) / sin(γ) = b * sin(α) / sin(β)

14 * sin(α) / sin(γ) - b * sin(α) / sin(β) * sin(α) / sin(γ) - b * sin(α) / sin(γ) = b * sin(α) / sin(β)

14 * sin(α) / sin(γ) = b * sin(α) / sin(β) + b * sin(α) / sin(β) * sin(α) / sin(γ) + b * sin(α) / sin(γ)

14 * sin(α) / sin(γ) = b * (sin(α) / sin(β) + sin(α) / sin(β) * sin(α) / sin(γ) + sin(α) / sin(γ))

14 * sin(α) / sin(γ) = b * sin(α) * (1 / sin(β) + sin(α) / (sin(β) * sin(γ)) + 1 / sin(γ))

14 / sin(γ) = b * (1 / sin(β) + sin(α) / (sin(β) * sin(γ)) + 1 / sin(γ))

b = 14 / (sin(γ) * (1 / sin(β) + sin(α) / (sin(β) * sin(γ)) + 1 / sin(γ))) = ?

a = b * sin(α) / sin(β) = ?

c = K - a - b = ?

3.

α = 112°

β = 180° - α = ? (a paralelogramma másik szöge)

A feladatban szereplő átló a paralelogrammát két egybevágó háromszögre osztja. Ennek ismerjük az egyik oldalát:

c = 18 cm

Ezzel szemben van a megadott tompaszög: α

A másik két oldala pedig a paralelogramma két különböző oldala, ezeket keressük.

És ismerjük a velük szemben lévő szögeket:

Az egyik a β 2/5-e, a másik pedig a β 3/5-e.

Legyen a és b a keresett oldalak hossza.

Az a-val szemközti szög:

γ = 2/5 * β = ? (így az a lesz a rövidebbik oldal)

A b-vel szemközti szög:

δ = 3/5 * β = ? (így a b lesz a hosszabbik oldal)

Írjunk fel egy-egy szinusztételt a két keresett oldalra és a megadott átlóra:

sin(α) / sin(γ) = c / a

a = c * sin(γ) / sin(α) = ?

sin(α) / sin(δ) = c / b

b = c * sin(δ) / sin(α) / ?

A 2. feladathoz

α = 43,8°

β = 64,7°

γ = 180° - (α + β)

sin[180° - (α + β)] = sin(α + β)

A kerület

K = a + b + c

Két szinusz tétel

a/sinα = c/sinγ

ebből

a = c*sinα/sinγ

b/sinβ = c/sinγ

ebből

b = c*sinβ/sinγ

Ezekkel a kerület

K = c*sinα/sinγ + c*sinβ/sinγ + c

Kiemelve

K = c*(sinα/sinγ + sinβ/sinγ + 1)

Legyen

sinα/sinγ + sinβ/sinγ + 1 = Q (konstans)

ezzel

K = c*Q

amiből

c = K/Q

======

Ennek ismeretében a másik két oldal egyszerűen számítható.

A 3. feladathoz: variációk egy témához.

[link]

Remélem, külön magyarázat nélkül is érthető.