Hogyan számítom ki ezt?

Ezzel a feladattal én két problémába ütköztem. Egyrészt nem látom, hogy hogyan alkothatja egy félkörlap egy kúp palástját, másrészt nem látok hasonló feladatot egyik 2006-os magyar, magyar nyelvű matematikaérettségin sem.

Nem lehet, hogy a feladat szövegéből valamit rosszul másoltál ide?

[link]

[link]

[link]

[link]

[link]

[link]

Az „alkotja” és az „adja” nem ugyanaz az ige, ráadásul itt a korábbi részfeladatokból kiderül, hogy a félkörlap a kúppalást kiterített képe (a 18. feladatról van szó, csak hogy a következő válaszadónak ne kelljen végigolvasnia a feladatsort). Így a kúppalást felületéről egyrészt tudjuk, hogy a körlap területével egyezik, azaz π*R^2/2; másrészt a körlap sugara az az egyenes körkúp alkotójának a hossza. A körkúp alapkörének kerülete éppen a félkör ívének hossza lesz, tehát K = π*R, így az alapkör r sugarára

2*π*r = K = π*R,

tehát r = R/2. Az egyenes körkúp magasságvonala merőleges az alapkörre, egy alkotó és az alapkör egy hozzátartozó szöge vele derékszögű háromszöget alkot, így felírhatjuk a Pitagorasz-tételt, hogy

m^2 = r^2 + R^2 = (R/2)^2 + R^2 = 5*R^2/4,

R = gyök(4/5)*m = … (tessék helyettesíteni),

ahol m a kúp magassága.

Megjegyzések:

1. A feladat megoldásához feltételeztem, hogy – úgy, mint általában – egyenes körkúpról van szó. Ha pontosak akartak volna lenni a feladat kitűzői, akkor ezt beleírják a feladatba, ahogy azt is, hogy a félkörlap a kúppalást kiterített képe.

2. Nekem nagyon fura, hogy ez a feladatsor lényegében csak a címlapját tekintve egyezik az oktatas.hu-n szereplő hivatalos feladatsorral, azaz ezzel (amit az előző válaszomban a 3. linken szerepel):

[link]

Szóval itten valami sunyiság van.

Na, én is sunyi vagyok, rosszul írtam fel a Pitagorasz-tételt. Az m és az r merőlegesek egymásra, nem az r és R, tehát helyesen

R^2 = m^2 + r^2 = m^2 + R^2/4,

ebből

R = gyök(4/3)*m.

> „hogy lesz R^2=R^2/4+m^2-ből R=gyök(4/3*m^2)?”

A bal oldalon kezdetben egy egész R^2 van, a jobbon pedig csak egy negyed. Ezt az 1/4 R^2-et mindkét oldalból kivonva a jobb oldalon nem marad R^2, a balon pedig 3/4 R^2 lesz, azaz

3/4*R^2 = m^2.

Most megszorozzuk mindkét oldalt 4-gyel, majd elosztjuk 3-mal (vagy egyből csak annyit csinálunk, hogy elosztjuk 3/4-del):

3*R^2 = 4*m^2,

R^2 = 4/3*m^2.

Most pedig kihasználjuk, hogy m és R is szakaszok hosszai, tehát nem lehetnek negatívak, így egyszerűen gyököt vonhatunk:

R = gyök(4/3*m^2) = 2/gyök(3)*m.

(Ha sima másodfokú egyenletként kezelnék R-re nézve az R^2 = R^2/4 + m^2-et, akkor ugye az lenne a végeredmény, hogy R = ± gyök(4/3*m^2), de m-ről és R-ről is tudjuk, hogy pozitívak, így az m kihozható a gyökjel alól, és a – elhagyható.)

A továbbiakban a félreértések elkerülése és a kóbor apácák megtévesztése végett kúp alatt körkúpot, sőt, az izgalmat fokozandó egyenes körkúpot kell érteni.

Legyen

α - a fél kúpszög

φ = 180°- a kiterített kúppalást központi szöge

Egy fél körlapból 60°-os tölcsér készíthető, ezt már a drótostótok is tudták.

Ugyanis:

a kúppalást kiterítési szöge és a fél kúpszög között a következő - könnyen levezethető - összefüggés áll fenn:

φ = 360*sinα [°]

ebből

sinα = φ/360

esetünkben

φ = 180°

így

sinα = 1/2

vagyis a fél kúpszög

α = 30°

Tehát: van egy kúp, melynek magassága adott (14), fél kúpszöge adott (30°), az alkotó hossza az ismeretlen R.

Az ismert adatokból

R = m/cosα

azaz

R = 2m/√3

*************

Tudálékoskodás helyett jobb lett volna megtanulni számolni.

Vajúdtak a hegyek, és szültek egy torz egeret.

Utóirat:

Megkérném a finnyás válaszolót, hogy ugyan tárja már elénk a fenti feladat megoldását ferde körkúp esetére.

DeeDee

**********

Igazad van, jogos. Abból, hogy a kiterített palást félkör valóban következik, hogy egyenes körkúpról van szó. Így az első megjegyzésem tényleg felesleges, mint ahogy a te első mondatodban sem kell elkerülni a félreértéseket, csak végig kell gondolni rendesen a dolgokat – ugye a számolás mellett gondolkozni sem árt megtanulni, csak hát az nehezebb, mint a mellékelt ábra mutatja, és a szögfüggvényekkel bármikor lehet menőzni. (Az integrálást ne hozzuk be?)

(De az alkotó félkör az tényleg zavaró volt elsőre, és azt azért ismerd be, hogy a feladat a) része sokat egyértelműsít azon, hogy kiterített felületekről van szó.)

Amúgy nem számoltam én olyan rosszul (illetve fogalmazzunk úgy, hogy másodjára már jól számoltam, de ne mondd, hogy te még nem tévedtél itten), csak szögfüggvények helyett a Pitagorasz-tételt használtam. Persze azt is elő lehet adni ilyen lenéző stílusban, hogy „már Kőbánya alsóról üvölt”, hogy a kúp forgástengelyét tartalmazó metszete egy fél szabályos háromszög, ugyanis az alapkör sugara (r) fele az alkotó hosszának (R) – lásd a 15:35-ös válaszom –, és ezek a magassággal együtt derékszögű háromszöget alkotnak, amit a magasságra tükrözve éppen olyan háromszöget, aminek minden oldala egyforma, tehát szabályos. „Azt meg még a Nagy Jani is tudja, hogy” a szabályos háromszög magassága az oldal gyök(3)/2-szerese, azaz

m = gyök(3)/2*R,

R = 2*m/gyök(3) = 2*(14 cm)/gyök(3) ≈ 16,2 cm.

Plusz érdekesség, hogy megvan a megoldás a kétféle feladatsor rejtélyére is. Ez a feladat az idegennyelvű matematika érettségire készült, csak a magyar változatot is elkészítették belőle:

[link]

[link]

[link]

(És akkor, ha 2006-os matekérettségiről van szó, akkor nem 6 írásbeli feladatsort kell alatta érteni, hanem 8-at, ami vicces.)