Ismer valamelyikőtök elemi bizonyítást két kör hatványvonalára?

Vázlatosan:

A körök:

O₁ középpontú r sugarú és

O₂ középpontú R sugarú

O₁O₂ távolság = d

P-nek a körökre vonatkozó hatványai egyenlőek:

P távolsága az O₁O₂ egyenestől: m (≥0)

x=PO₁ y=PO₂

(x+r)(x-r) = (y+R)(y-R)

x²-r² = y²-R²

y²-x² = R²-r²

Pitagorasz-tétellel (de m=0-ra is érvényes):

√(x²-m²) + √(y²-m²) = d (*)

√(x²-m²) = d - √(y²-m²) |²

x² - m² = d² + y² - m² - 2d√(y²-m²)

2d√(y²-m²) = R² - r² + d²

√(y²-m²) = (R² - r² + d²)/(2d)

Itt már nem kell tovább rendezni, csak azt kell látni, hogy

PO₂-nek az O₁O₂ egyenesre eső vetülete: √(y²-m²) állandó.

Mellesleg ugyanígy kijönne PO₁ vetületére is:

√(x²-m²) = (r² - R² + d²)/(2d)

Bárhol, bármilyen magasságban (m) is van a P pont,

az O₁O₂ egyenesre eső merőleges vetületei ugyanott vannak,

tehát a P pontok egy O₁O₂-re merőleges egyenesen vannak.

Még az is kellene, hogy az egyenes minden pontjánál ugyanazok lesznek a körhatványok,

de az előbbi egyenletekkel az is megmagyarázható.

Ez nem csak két egymáson kívüli, vagy metsző, vagy érintő körökre érvényes.

Ha egymáson belül vannak, vagy belülról érintik egymást

akkor (*)-nál + helyett - van, de ugyanúgy kijön.

Egyébként metsző, vagy egymást akárhogyan érintő körökre számolás nélkül is triviális.