Hány megoldása lesz ennek az egyenletnek?

A nevezők pozitívak, így szorozhatunk velük:

2016*x + 2016*y = x*y,

(x – 2016)*(y – 2016) = 2016*2016.

És most lehet fát vágni. Tudjuk, hogy (x – 2016) és (y – 2016) a 2016*2016 egy osztópárja lesz, ezeket az osztópárokat (A NEGATÍVAKAT IS) szépen végig kell próbálgatni, hogy mikor lesz x és y pozitív egész. Hogy egészek lesznek az biztos, mert x és y együtthatója 1 mind az (x – 2016)-ban, mind az (y – 2016)-ban.

Azt gondold végig, hogy hány olyan van, hogy pozitívak is.

Az osztók számát ki tudod számolni?

Az történt, hogy az egyenletet átírtuk a*b = 2016^2 alakba, ahol a-ról és b-ről azt tudjuk, hogy egészek, illetve, hogy a = x – 2016, b = y – 2016. Tehát a 2016^2 osztópárjait kell vizsgálnunk. Az is egy osztópár, például, hogy a = –1, b = –2016^2.

De a negatív osztópárokat könnyen kizárhatjuk, mert azok egyik tagja mindig legfeljebb –2016, amihez 2016-ot adva még 0-t kapunk, tehát az nem lesz pozitív.

A pozitív osztópároknak pedig mindegyike jó lesz, hiszen ha egy pozitív egész számhoz hozzáadunk 2016-ot, az egy pozitív egész szám lesz (ugye x = a + 2016, y = b + 2016). Így csak az a kérdés, hogy hány pozitív osztója van a 2016*2016-nak, mert ennyi megoldása lesz az egyenletnek is.

2016 = 2^5*3^2*7,

2016^2 = 2^10*3^4*7^2,

az osztók száma pedig

(10 + 1)*(4 + 1)*(2 + 1) = 165.

[link]

329 megoldása van (ha x és y lehetnek negatívak is)