Egy 3szög oldalainak hossza; 7,8,9 cm. Hány fokosak a szögei?

Szia!

Hasznald a szinusz tetelt:

[link]

Es azt is hasznald fol, hogy a szogek osszege 180 fok.

Az első lehetőség, hogy koszinusztétellel kiszámolod valamelyik szögét (érdemes a legnagyobbal szemköztit); egy a;b;c oldalú háromszögben, ahol y (gamma) a c oldallal szemközti szög, fennáll ez az egyenlőség:

c^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(y)

Speciális eset, ha y=90°, ekkor c^2=a^2+b^2-et kapjuk, ez pedig Pitagorasz tétele. Ha ez megvan, akkor végülis a többi szög is kiszámolható ezzel, de ha a legnagyobbal kezdesz, akkor szinusztétellel folytathatod; tetszőleges háromszögben az oldalak (a,b) aránya megegyezik a velük szemközti szögek (Ł;ß) szinuszainak arányával: a/b=sin(Ł)/sin(ß).

Ha ezt esetleg nem tudod, de egyenletrendszert már meg tudsz oldani, és az alap trigonometriával tisztában vagy, akkor eljárhatsz úgy is, hogy a háromszöget felbontod két derékszögű háromszögre, ezt úgy érdemes, hogy a leghosszabb oldalra állítod a merőlegest; ezt azért optimális így csinálni, mert a leghosszabb oldalhoz tartozó merőleges (magasság) biztos, hogy a háromszögön belül lesz. A magasság (m) két részre bontja a leghosszabb oldalt; az egyik legyen x, a másik így 9-x lesz, mindegy, hogy melyik az x, én most a kisebbik részt jelölöm x-szel. Ekkor kapsz két derékszögű háromszöget:

1) befogók: x, m, átfogó: 7

2) befogók: 9-x, m, átfogó: 8

Ezekre felírod Pitagorasz tételét:

x^2+m^2=7^2

(9-x)^2+m^2=8^2

Mivel ezeknek egyszerre kell teljesülniük, egyenletrendszerbe foglaljuk őket, és megoldjuk. Érdemes kivonni egymásból a két egyenletet, ekkor m^2 kiesik, így:

(9-x)^2-x^2=8^2-7^2

81-18x+x^2-x^2=64-49

81-18x=15

66=18x

66/18=11/3=x, eszerint a másik rész hossza: 9-11/3=27/3-11/3=16/3 lesz.

Ebből kiszámolható m is, de a szögek kiszámolásához nem szükséges.

Az 1) derékszögű háromszögben m-mel szemközti oldal koszinuszát fel tudjuk írni, mivel ismerjük a szög melletti befogót és az átfogót:

cos(Ł)=(11/3)/7=11/21, számológépbe beütöd, kiadja az eredményt, és az eredmény egyértelműen kisebb, mint 90°, mivel nem a legnagyobb oldallal szemközti szöget számoltuk (ami bizonyos esetben lehet derék- vagy tompaszög is).

A 2) derékszögű háromszögben ugyanez a helyzet:

cos(ß)=(16/3)/8=2/3, számológépbe beütöd, és megvan a szintén egyértelmű eredmény.

A harmadik szöget pedig onnan tudod kiszámolni, hogy tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°.

Remélem, hogy mindent érthetően leírtam.