Differenciálhányados fizikai és geometriai jelentése?

A fizikai jelentése az, hogy ha van egy fizikai mennyiséged, amely egy másik függvényében változik (pl. út-idő, sebesség-idő, nyomás-térfogat, elektromos térerősség-hely, stb.), akkor ezen változás pillanatnyi gyorsaságát adja meg a differenciálhányados. Vagyis arra a kérdésre ad választ, hogy mennyit változik a függő mennyiség, ha a függetlent egy picit megváltoztatjuk. Praktikusan tehát minden deriválással kapott mennyiséged egy sebesség típusú mennyiség.

A matematikai jelentése pedig egy függvény adott pontbeli érintőjének meredeksége, vagyis annak az egyenesnek a vízszines tengellyel bezárt szögének (irány)tangense, amely a függvényt az adott pontban érinti.

A kétfajta jelentés egyébként ekvivalens, mivel az érintő pont arra jó, hogy a függvényt az érintési pont egy kellően kicsiny környezetében ezzel helyettesítsük (kvázi nagyon "kinagyítjuk" a függvényt), vagyis megállapítsuk azt, hogy a függő változó (az y tengelyen) milyen gyorsan változik a független változó (az x tengelyen) függvényében.

Nagyjából mindent jól írt az első, egy mondat viszont helytelen:

"Vagyis arra a kérdésre ad választ, hogy mennyit változik a függő mennyiség ha a függetlent egy picit megváltoztatjuk"

Csak közvetett úton, formula segítségével ad választ. Írja le ugyanis valamely f(x) függvény a vizsgált kapcsolatot, és tekintsünk valamely x0 pontot, ahol értelmezve van f.

A független változónak egy kis delta_x megváltozása hatására adódjék delta_y megváltpzása a függő változónak.

Ekkor érvényes az

delta_y =kb.= f(x0)+f '(x0)*delta_x

közelítő egyenlőség, amely már tényleg azt fejezi ki, hogy mennyit változik a függő mennyiség ha a függetlent egy picit megváltoztatjuk.

Hangsúlyozni kell, hogy a pontos megváltozás ettől eltér, igazolható, hogy a valódi megváltozásnak ez épp lineáris közelítése x0 valamely alkalmas kis környezetében. (Ezt úgy hívják, hogy f-nek az elsőfokú Taylor-polinoma x0 körül.)

A pontos megváltozás a maradéktaggal bővített Taylor-formulának megfelelően írható:

delta_y = f(x0)+f '(x0)*delta_x+f ''(xp)*(delta_x)^2/2,

ahol xp benne van x0-nak valamely környezetében.

A pontos formula globálisan is kiterjeszthető Taylor, ill. Laurent-sorok segítségével (szép függvényekre) ebbe most nem megyek bele.

Úgy imádom, amikor valaki elkezd szőrszálakat hasogatni, és ahelyett, hogy a kérdésre válaszolna, inkább túlbonyolít.

Nem, az a bizonyos mondat sem helytelen, csak figyelmesen kell olvasni a továbbiakat is szem előtt tartva (lásd lineáris közelítés), hogy itt most a fizikai jelentésről van szó, nem a matematikai Taylor-sorfejtésről.

#4-nek: Értem én, hogy fizikai magyarázatról van szó, ám ez semmiképp sem jelentheti azt, hogy félreértelmezhető, nem egyértelmű kijelentéseket teszünk, hisz ez nem csak a szabatosság, de a helyes mögöttes tartalom megértésének rovására is megy.

Válaszom pusztán alapszintű kiegészítésnek tekinthető, amely elemi függvénytani ismeretek segítségével jól érthető.