Adott egy szabályos háromszög. Hogyan szerkesztenénk egy azonos kerületű négyzetet?

A szerkesztés egyszerű:

1. Felméred egy egyenesre a háromszög oldalát háromszor egymás mellé, az lesz a kerülete.

2. Az így kapott szakaszt megfelezed egyszer, a felét még egyszer, és az lesz a négyzet oldala.

3. A négyzet szerkesztését adott oldal alapján már biztos tanultad.

(Ilyesmi még ötödik osztályból is rémlik nekem.)

A területek arányára hirtelen csak olyat tudok, amihez a Pitagorasz-tételt is fel kell használni, hogy belássuk.

De a szabályos háromszög területe, ha adott, hogy az oldala a hosszú, akkor

Th = gyök(3)/4*a^2.

A négyzet területe, ha az oldala b hosszú:

Tn = b^2.

A kerületek pedig egyenlők, így mind a kettőt K-val jelölöm:

K = 3*a,

K = 4*b.

A kerületekre vonatkozó összefüggésből megvan, hogy b hányszorosa a-nak, a területek arányából (Th/Tn) pedig ki fog esni az a, ha helyettesítesz, és csak egy szám marad.