Egy lassan mozgó vasúti kocsit vele egy irányban haladva 17 lépésnek, ellentétes irányba haladva 12 lepes hosszúnak találjuk?

"Legyen

v0 - a vagon sebessége

v - a gyalogló sebessége

L1 = 17 lépés - az egyirányú

L2 = 12 lépés - a ellentétes irányú

mozgás során megtett lépések száma.

L0 = ? a vagon hossza [lépés]

Természetesen v > v0, különben nem lehet utolérni a vagont. :-)

Tekintsük a vagont állónak, a gyaloglót pedig a sebességek különbségével mozgónak.

Ekkor egyirányú mozgás esetén

v - v0 sebességgel t1 idő alatt

ellentétes esetben pedig

v + v0 sebességgel t2 idő alatt

ér a gyalogló az L0 hosszúságú kocsi végére.

Ez egyenlet formájában így írható fel

(v - v0)*t1 = L0

ill.

(v + v0)*t2 = L0

Hiányzik még az idők értéke.

Mivel egyirányú mozgás esetén L1 lépést kell megtenni v sebességgel, így

t1 = L1/v

ellenirányban pedig L2 lépést szükséges v sebességgel, vagyis

t2 = L2/v

Ezeket behelyettesítve az előző képletekbe

[(v - v0)/v]*L1 = L0

[(v + v0)/v]*L2 = L0

Innentől már csak megoldástechnika kérdése a dolog.

Mivel a sebességeket nem ismerjük, csak az arányukkal lehet számolni.

A szögletes zárójelben levő mennyiséget átalakítva.

(v - v0)/v = 1 - v0/v

(v + v0)/v = 1 + v0/v

ha bevezetjük a

v0/v = p

jelölést, akkor

(v - v0)/v = 1 - p

(v + v0)/v = 1 + p

Így a két egyenlet

(1 - p)*L1 = L0

(1 + p)*L2 = L0

Ezekből p-t kifejezve

p = (L1 - L2)/(L1 + L2)

Ebben a kifejezésben már csupa ismert érték van, így p értékét kiszámolva bármelyik előző egyenletből meghatározható L0 nagysága.

******

Megjegyzés:

Idáig többféleképp is el lehet jutni, de ha megelégszel a számszerű megoldással, elsikkad a mélyebb összefüggés, az ilyen feladatokra érvényes általános megoldás.

******

Egy kis szünet és jön a végkifejlet. :-)

Így a feladat már megoldható, de tovább mennék egy lépéssel.

p előbbi értékét behelyettesítve az L0 képletébe

1 - p = 2*L2/(L1 + L2)

és

1 + p = 2*L1/(L1 + L2)

így

L0 = (1 - p)*L1 = 2*L1*L2(L1 + L2)

ill

L0 = (1 + p)*L2 = 2*L1*L2/(L1 + L2)

vagyis

L0 = 2*L1*L2/(L1 + L2)

Ami azt jelenti, hogy L0 egyenlő az L1 és L2 hosszak harmonikus közepével, tehát

L0 = H(L1,L2)

======

A harmonikus közép jele: H(x,y)

A feladat adataival

L0 = 2*17*12/(17 + 12) = 408/29

L0 ≈ 14 lépés

======

Még egy megjegyzés:

ha rajzolsz egy olyan trapézt, melynek hosszabbik alapja L1, a rövidebb L2 (a magasság tetszőleges), meghúzod a szárait és az átlóit, akkor az átlók metszésponján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a szárak közé eső darabja a két alap harmonikus közepe. "

A választ DeeDee nevű felhasználó írta korábban ugyanitt a honlapon.