(A∪B) ∪ (C∩ (A∪B) ) = (A∪B∪C) ∩ ( (A∪B) ∩ (A∪B) ) Ez hogyan jön ki?

Ez nem egy matematikai átalakítással jön ki. Gondolom csak felírták, hogy döntsd el igaz-e vagy nem.

Ez éppen igaz. Meggyőződhetsz róla, ha besatírozgatod papíron, vagy fejben, ehhez hasonlóan:

[link]

Ez egyértelműen igaz, a feladat nem eldönteni, hanem igazolni, hogy tényleg egyenlő a kettő.

Kezdjüka jobboldallal, ott elég sok egyszerűsítenivaló van:

(A∪B∪C) ∩ ( (A∪B) ∩ (A∪B) )

(A∪B) ∩ (A∪B), halmaz önmagával vett metszete önmaga, tehát ez egyszerűsíthető (A∪B)-re:

(A∪B∪C) ∩ (A∪B)

(A∪B∪C) pedig a teljes alaphalmaz, ha ezt metszed egy másik halmazzal, a másik halmazt magát kapod, tehát ez elhagyható, marad: (A∪B)

Jöjjön a baloldal:

(A∪B) ∪ (C∩ (A∪B) )

C∩ (A∪B), lehet osztani-szorozni, alakítgatni, de elég ennyit leszögezni, hogy mivel ez C és (A∪B) metszete, így részhalmaza lesz C-nek és ami még fontosabb (A∪B)-nek. Nevezzük el ezt a részt X-nek, és mondjuk, hogy X részhalmaza (A∪B).

Így lesz (A∪B) ∪ X. Mivel X részhalmaza (A∪B) ezért (A∪B) ∪ X = (A∪B).

És így kijön végül, hogy (A∪B) = (A∪B)