Tudtok mondani nagyon nehéz matematikai feladatsorokat?

[link]

Tessek, elsoeves informatikusok ezt kaptak a BME-n. Bar nem egeszen ertem hogyan fogod megszivatni ezzel a tanart, hiszen te nem tudod megoldani.

Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok,

A jelű feladatok

egy nem könnyű feladat:

keressük meg az

x^3 - y^2 = 2

egyenlet megoldásait a természetes számok halmazán

(egy megoldása van: 3^3-5^2=2

de bizonyítani kell, hogy nincs több)

másik:

Milyen háromszögek esetén van olyan egyenes, amelyik egyaránt felezi a háromszög kerületét és területét is?

harmadik:

oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:

1+4/(x+2)^2=5/x^2

negyedik:

Egy orvosi váróteremben van egymás mellett 20 ülőhely. Zoli csak akkor ül le egy helyre, ha annak a két szomszédja üres. Zoli előtt már hatan leülnek véletlenszerűen egy-egy helyre. Mekkora annak az esélye, hogy Zoli le tud ülni?

Nekem volt korábban két kérdésem is, amit eddig még senki nem tudott megoldani.

Esetleg ezeket odaadhatod a tanárodnak, ha megoldja, az nekem is hasznos lenne.

Esetleg ha olvassa ezt az oldalt olyan kollega, aki a kihívásokat kedveli, ő is megpróbálkozjat vele, mondom, eddig még senki sem tudta megoldani.

Az egyik egy valószínűségszámítás feladat, a másik pedig egy integrálegyenletes.

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

1.

Egy általános háromszög oldalainak a szórása 3,57. A leghosszabb oldal 3,21- szerese a legrövidebbnek. Mekkorák a háromszög oldalainak az oldalak hosszának átlagától való abszolút eltérései?

2.

Két szám átlagának a szinusza 0,2312. Az egyik szám alaki értékeinek összege 4. A másik szám 5,43-szorosa az első szám átlagtól való abszolút eltérésének.

Melyik ez a két szám?

3. (Könnyebb)

Egy egyenlőszárú háromszög oldalainak átlaga 10cm. Szórása 3×'gyök'2. Mekkorák a háromszög oldalai?

(2019.május Emelt matek). Ez egy tanárnak könnyebb, de az első kettőt egy befásult tanár már nehezen old meg.

Matektanárom az valami zsenigyerek, és ezt kaptam tőle egyszer(állítása szerint ezt ő 13 évesen kevesebb mint 60 másodperc alatt megoldotta, én 15 évesen 5 perc alatt oldottam meg):

A hajó hossza, a kapitány kora és a kapitány gyerekinek a számát ha összeszorozzuk, 32118-at kapunk. Hány éves a kapitány?

ha rájössz, fasza gyerek vagy :)

Keressük az x^3 - y^2 = 2 egyenlet természetes számok közötti megoldásait.

Az egyenlet azt mondja, hogy egy köb és egy négyzet különbsége pontosan 2. Már tudjuk, hogy (x, y) = (3, 5) megoldása ennek az egyenletnek, de szeretnénk bizonyítani, hogy nincs több megoldás.

### Vizsgáljuk meg, hogyan lehet ezt bizonyítani!

#### 1. Első lépés: Megfigyelések

Az egyenlet alapján:

\[

x^3 = y^2 + 2

\]

Itt azt látjuk, hogy egy köb és egy négyzetszám különbsége 2. Tekintsük azokat az értékeket, ahol x^3 és y^2 közel lehetnek egymáshoz.

#### 2. Vizsgáljuk meg kis x értékek esetén

- Ha x = 1: 1^3 - y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = -1, ami nem lehet természetes szám.

- Ha x = 2: 2^3 - y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 6, ami szintén nem négyzetszám.

- Ha x = 3: 3^3 - y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 25\quad \Rightarrow \quad y = 5. Itt van egy megoldás: (x, y) = (3, 5).

- Ha x = 4: 4^3 - y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 62, ami nem négyzetszám.

- Ha x = 5: 5^3 - y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 123, ami szintén nem négyzetszám.

#### 3. Vizsgáljuk meg a további x értékeket

Ahogy x nő, az x^3 gyorsan növekszik, miközben a különbség x^3 - y^2 = 2-re korlátozódik. Nézzük meg a különbségeket további x értékek esetén:

- Ha x = 6: 6^3 - y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 214, ami nem négyzetszám.

- Ha x = 7: 7^3 - y^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 341, ami szintén nem négyzetszám.

#### 4. Általános eset: Négyzetszámok és köbszámok viszonya

Tekintsük, hogy x^3 és y^2 hogyan viszonyul egymáshoz nagyobb x-ek esetén. Ahogy x^3 nő, y^2 gyorsan elmarad, és egyre nagyobb különbségek keletkeznek a két érték között, amelyek nem képezhetik 2 különbségét.

#### 5. Következtetés

Az egyenlet megoldásait korlátozva megállapítható, hogy a kis x értékek ellenőrzése után nincs más megoldás a (x, y) = (3, 5) páron kívül.

Tehát az x^3 - y^2 = 2 egyenlet egyetlen megoldása a természetes számok halmazán: (x, y) = (3, 5).