Normál eloszlás feladat Egy vetésen lévő varjak száma normál eloszlást követ m=400 sigma (? ) =40 A vetésen minden feladatot el tudunk végezni ha a varjak száma kevesebb mint 450. Mi az esélye annak hogy nem tudjuk elvégezni a feladatot?

A normális eloszlás számolására vannak számítógépes programok (web-esek is), de a ZH-n táblázatot kell használni, úgyhogy azt kell megtanulni. Ezeket a lépéseket kell hozzá megcsinálni:

- Át kell alakítani az aktuális X eloszlást standard normális eloszlássá (standardizálás):

Z = (X - m)/σ

Ebbe kell behelyettesíteni az adatokat:

z = (450 - 400)/50 = 1

- Meg kell nézni a Φ táblázatban a z-hez tartozó valószínűséget

Mondjuk itt van egy táblázat:

[link]

A táblázat ezeket az értékeket tartalmazza:

Φ(z) = P(Z < z)

vagyis annak a valószínűsége van a táblázatban, hogy egy standard normális eloszlású Z valószínűségi változó értéke kisebb lesz z-nél.

- Most Φ(1,00) = 0,8413

Ez azt jelenti, hogy Φ(1) = P(Z < 1) = P(X < 450) = 0,8413

- Most P(X ≥ 450) a kérdés, az ennek az ellentettje:

P(X ≥ 450) = 1 - P(X < 450) = 1 - 0,8413 = 0,1587

Kész

----

Megjegyzés:

Ez nagyon egyszerű feladat volt, csak a standardizálást kellett megcsinálni, és abból is "jólnevelt" pozitív érték jött ki. Ha z negatív lenne, akkor kicsit variálni kell. A Φ táblázatban ugyanis nincsenek negatív z értékek. Viszont a Gauss görbe szimmetrikus a várható értékre, vagyis a Φ-ben a nullára. ... Itt van hozzá egy ábra:

[link]

A türkizkék területek egyformák, vagyis

P(Z < -z) = P(Z > z)

Nézzünk inkább egy példát:

Ha mondjuk 450 helyett 350 varjúval kellett volna számolni:

z = (350 - 400)/50 = -1

P(X≥350) = P(Z ≥ -1) = P(Z ≤ 1) = Φ(1)

Az, hogy kisebb vagy kisebb-egyenlő, az nem számít, mert folytonos eloszlásról van szó.