Meg tudná oldani valaki az alábbi feladatot?

Nemám!

301

Ez kapásból csak 400 lehetőség a gyerekek számára, amit már végig lehet próbálgatni…

Másrészt tudjuk, hogy 2-vel nem osztható a szám, az utolsó számjegy csak páratlan lehet, mert ha kettesével állnak be, akkor egy valaki kimarad. Azt is tudjuk, hogy a számjegyek összege hárommal osztva 1 maradékot ad, mert akkor is kimarad egy valaki, ha hármasával állnak be. A négyesévelből következik, hogy az utolsó két számjegyből képzett szám néggyel osztva 1 maradékot ad,…

Ez alapján gyorsan szűkül a kipróbálandó számok köre, ha megnézed.

Az első lépés után:

1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 399.

A második után:

1, 7, 13, 19, 25, …, 397.

A harmadik után:

1, 13, 25, 37, 49, …, 397.

Az negyedik után:

1, 61, 121, 181, …, 361.

Az ötödik után sajnos maradnak ugyanezek, viszont ezek közül már csak megtalálod a 7-tel osztható(ka)t. Ez(ek) lesz(nek) a megoldás(ok).

Azé enné eccerűbb hálistennek.

A 2, 3, 4, 5, 6 lekkissebb lözös többszöröse 60, tehát csak a 60n+1 alakú számok között köll 7-tel osztatót találni.

A találgatáson kívül van a feladatnak matematikusabb megoldása is. :-)

A levezetésben 0 ≤ n, m, k ≤ 9 pozitív egész szám

Ha a létszám 2, 3, 4, 5, 6-osával csoportosítva 1-et ad maradékul, akkor a létszámból 1-et levonva olyan számot kapunk, ami maradék nélkül osztható a fenti számokkal. Ebből adódik, hogy a csoportszámok legkisebb közös többszörösének valahányszorosa plusz 1 fő lesz a teljes létszám, ami maradék nélkül osztható 7-tel.

Mivel a csoportszámok 2, 3, 4, 5, 6 - legkisebb közös többszöröse 60, a feladat így fogalmazható meg:

60n + 1 = 7m

Kicsit átalakítva

60n + 6 - 6 + 1 = 7m

(60n - 6) + 7 = 7m (csak a csoportosítás jelzésére van a zárójel)

6(10n - 1) + 7 = 7m

Héttel osztva mindkét oldalt

6[(10n - 1)/7] + 1 = m

A törtet tovább alakítva

6[(7n + 3n - 1)/7] + 1 = m

6[n + (3n - 1)/7] + 1 = m

A szögletes zárójelben levő tört akkor lesz egész szám, ha a számláló 7-szerese a nevezőnek, vagyis

3n - 1 = 7k

3n = 7k + 1

n = (7k + 1)/3

Kis alakítás

n = (6k + k +1)/3

Hárommal osztva

n = 2k + (k + 1)/3

A tört értéke akkor lesz egész szám, ha

k = 2, 5, 8,... stb

Viszont minden 2-nél nagyobb 'k' esetén az 'n' értéke nagyobb lesz 10-nél, így az egyetlen megoldás

k = 2

Ezzel az 'n' értéke

n = 2*2 + 1

n = 5

====

Az 'm' értéke

6[(10n - 1)/7] + 1 = m

6[(50 - 1)/7] + 1

m = 43

=====

Ezek után a létszám

L = 60n + 1

L = 301

Ellenőrzésül

L = 43*7

L = 301

Tehát az ünnepélyen 301 tanuló vett részt.

DeeDee

***********