Katapult fizikája?

A katapult szó kicsit homályos megfogalmazás, előttem először egy rugós kilövőszerkezet rémlett fel, de íjszerű katapultok is voltak régen, és gőzkatapultnak hívják a repülőgép-anyahajókon az indítószerkezetet. De ez tulajdonképpen mindegy.

A 45°-os kilövési szög csak légüres térben adja a legnagyobb hordtávolságot. A légellenállás miatt az optimális szög kisebb ennél. Hogy pontosan mennyi, azt döntően befolyásolja a kilövés kezdősebessége. A katapultban természetesen az a fontos, hogy amikor a lövedék haladási szöge pont ennyi, akkor kell a szerkezetnek elválnia a lövedéktől, bármilyen mechanizmusú is a kilövés.

A parittyás katapult (nem a csúzli!) trükkös módon növeli meg a lövedék pályasugarát és sebességét. A kilövésig, elengedésig tartó mozgás szerintem spirális lenne akkor, ha a kar sebessége állandó lenne, így viszont a jó ég tudja. Mindenféle esetre azt javaslom, hogy közvetlen képletek keresése nélkül inkább valamilyen modellszámítással keresd a megoldást. Ha kellően sűrű pillanatokban mindig kiszámíttatod valamilyen programmal – erre még az Excel is jó – a lövedékre éppen ható erők irányát és nagyságát, majd a lövedék a következő időszakaszt ennek hatására (Newton II. törvényének betartásával) gyorsulva teszi meg, úgy egész jól boldogulni lehet. És a következő pillanatban újra számítás, és újra mozgás annak hatása alatt. A légellenállás mindig a pillanatnyi sebesség szerint alakul, ami befolyásolja a következő pillanatban érvényes sebességet, és így tovább. Ilyen iterációs modellel ennél bonyolultabb feladatok is megoldhatók. A számítógépben az a jó – és pont erre a feladatra használták először a digitális számítógépeket –, hogy a paraméterek kis módosítása után villámgyorsan megkapjuk az új értékeket, és így lehet kikísérletezni a kívánt paramétereket.

Azt ajánlom, hogy a kilövőkarnak a lövedékre gyakorolt erejét inkább ne analitikus geometriai eszközökkel, hanem koordináta-geometriával közelítsd meg, mert akkor a modellben kapott részeredmények közvetlenül használhatók a következő iterációs lépéshez. Tehát a kilövőkar végpontjának és a lövedéknek a koordinátáit felhasználva a két ponton átmenő egyenes egyenlete alapján tudod megadni a következő elmozdulás szögét és így tovább.

A megoldásban mindenképpen gondot fog jelenteni a kilövőkart gyorsító erő megállapítása. Ha például egy kötélsodrony elcsavarodása tárolja a bevitt energiát, akkor kétséges, hogy mennyire érvényes rá például az egyszerű torziós esetekre használható lineáris erőtörvény. Ha a sodrony előfeszítése elég nagy, akkor valószínűleg elég jó közelítés. Ez attól is függ például, hogy a megtervezendő szerkezetben a rugómechanizmusnak maga a tartószerkezet kis deformálódása mennyire lesz alkotórésze. Hiszen semmi sem marad deformálatlan egy ilyen szerkezetben, és ahogy az íjban sem a húr rugalmas, hanem az íj teste, úgy egy katapultban is több tényező játszik. Nehéz feladat, kétségtelenül. Kísérletekre lesz szükséged.

Kedves Előző! Én írtam a második kommentet! Java részt jó amit írtál. De a 45°-os okfejtésed butaság. Gondoljunk csak bele! Ha légüres térről beszélünk, akkor is ugyan az a pályaegyenlet, mintha adott környezetről van szó. Csupán szerepel a képletben egy csillapodási tényező. Nem lehet jóval kisebb, mert akkor akkor nem lesz igaz, hogy cos(2*45)=1. Ehejett mindiv valami 0,7..0,8..0,9-es érték lesz.

Hogy miért? Nézzük.

Feltétel: 0<alfa<90°

v0(kezdősebesség): egy x és egy y irányú sebesség komponensből áll. Ezekből v0 nagysága: v0=|v0|=sqrt(v(x)^2+v(y)^ˇ). x irányú komponens v(x)=v0*cos(alfa), y irányú komponens v(y)=v0*sin(alfa)

Megj: 2sin(alfa)*cos(alfa)=sin(2*alfa)--->sin(alfa+alf)=sin(alfa)cos(alfa)+sin(alfa)cos(alfa)

Pályaegyenletek:

x: x(t)=v0(x)*t=v0*cos(alfa)*t

y: y(t)=v0(y)*t-(g/2)*t^2=v0*sin(alfa)*t-(g/2)*t^2

v0*sin(alfa)*t-(g/2)*t^2=0

v0*sin(alfa)-(g/2)*t=0

ebből t-re rendezve kapjuk a becsapódás idejét.

t(becsapódás)=t=(2*v0*sin(alfa))/g

x-be beírva kapjuk a becsapódás helyét az x tengelyen.

x(t(becsaapódás))=v0*cos(alfa*(2*v0*sin(alfa)/g))=(v0^2)*sin(2alfa)/g

Tehát ezesetben a becsapódásnak ott van maximuma, ahol x(t(b)) fv. maximuma van. Ez minden esetben igaz. Ha van csillapítás ha nincs. Hol van ezen fv-nek maximuma? Ahol sin a legnagyobb értéket veszi fel. Azaz sin maximális értéke csak 1 lehet. Így a keresett szög:

sin(2alfa)=1

2alfa=arcsin(1)

2alfa=90

alfa=45

Ez az egyik megoldás. Mindenféle differenciálás nélkül. Jól látható, hogy ez mindig igaz lesz.

Egy másik megoldás haladóknak:

Tudjuk, hogy x(t(b))=(v0^2)*sin(2alfa)/g

Ennek a fügvénynek ott van szélső értéke, ahol metszi az x-tengelyt.Egy Newton óta úgy tudjuk megállapítani, hogy differenciáljuk a fv-t

Tehát:

(dx/d alfa)=(dx/d alfa)(v0^2)*sin(2alfa)/g

(dx/d alfa)=((v0^2)/g)*cos(2alfa)*2

Szélső érték keresés, ahol ez a fv 0 ott szélső értéke van.

((v0^2)/g)*cos(2alfa)*2=0

belátható, hogy csak a cosinuszos tag befolyásolja ezen tényt. így:

cos(2alfa)=0

2alfa=arccos(0)

2alfa=90

alfa=45

Az állítás most is igaz. Nem számít a csillapítás. Az egyik fix pontja az illetőnek a 45°. Innentől már csak as ebesség számít. Valamint munkavégzés szempontjából, nem számít, hogy a test milyen pályán halad a kilövésig. Lehet az spirál, lehet félkör. Nem befolyásol semmit. A kezdeti feltételekből, a gép működési elvéből kitudja számolni a kezdeti sebességet.