Egy szabályos tizenkét oldalú sokszög köré írható körének sugara 4cm. Mekkora a sokszög területe és kerülete?

Ha a középpontot összekötöd a sokszög csúcsaival, akkor 12 darab egybevágó, egyenlőszárú háromszöget kapsz, amiről a következőket tudjuk:

- a szárai 4 cm hosszúak, mert a köréírt kör sugarai

- a szárak közötti szög 360°/12, azaz 30°

Írjuk fel a koszinusztételt egy ilyen háromszögben:

a^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos(alfa)

ahol a a háromszög alapja, r pedig a két szára, illetve alfa a szárszöge

TEhát:

a^2 = 4^2 + 4^2 - 2 * 4 * 4 * cos(30°) = 16 + 16 + 32 * gyök(3)/2 =

= 32 + 16 * gyök(3) = 16 * (2 + gyök(3)) = 59,713

a = 7,727 cm

A tizenkétszög oldala tehát 7,727 cm hosszú.

Kerülete: K = 12 * a = 92,729 cm

Nézzük meg újra a 12 darab egybevágó háromszöget. Ezek területének összege ugye kiadja a tizenkétszög területét.

Számoljuk ki egy ilyen háromszög területét:

Van egy ilyen képlet:

Th = a * b * sin(gamma)

ahol a és b a háromszög 1-1 oldala, gamma pedig a köztük lévő szög

Most:

Th = r * r * sin(alfa) = 4 * 4 * sin(30°) = 16 * 1/2 = 8 cm^2

Tehát a tizenkétszög területe:

T = 12 * Th = 12 * 8 = 96 cm^2

#2, köszi, hogy leírtad:

1. Nagyon jó ötlet.

2. Elírtam egy előjelet, és ezért rossz lett.

(A helyes:

a^2 = 4^2 + 4^2 - 2 * 4 * 4 * cos(30°) = 16 + 16 - 32 * gyök(3)/2 =

= 32 - 16 * gyök(3) = 16 * (2 - gyök(3)) = 4,287

a = 2,07 (mint neked)

A háromszög területénél pedig lehagytam egy /2 -t...)