Egy háromszög két súlyvonala 6 cm és 9 cm hosszúságú, az általuk bezárt szög 65,4 fok. Mekkora a háromszög területe?

Mielőtt elkezdenéd olvasni a feladatot, a következő kérdéseket válaszold meg magadnak, és ha mindegyikre a válasz igen, akkor tudod a megoldásomat használni:

Tanultátok-e:

-a háromszög területét: T(háromszög)=a*b*sin(y)/2 ?

-a szögfüggvények kiterjesztését hegyesszögnél nagyobb szögekre?

________________________________________________________________

Tudjuk, hogy a súlyvonalak metszéspontja a súlypont, a súlypontról pedig azt tudjuk, hogy a súlyvonalakat 1:2 arányban osztja, ahol a hosszabbik szakasz a súlypont és a háromszög csúcsa által meghatározott szakasz.

Ennek megfelelően rajzoljunk egy vázlatot; behúzzuk a két súlyvonalat, a 6cm-es súlyvonalon a csúcs-súlypont távolsága 4 cm, a súlypont-felezőpont távolsága 2cm, a 9cm-esen ugyanezek a távolságok 3cm és 6 cm-esek. Ezt az ábrát egészítsük ki még annyival, hogy a súlyvonalak két végpontját (a felezőpontokat) kössük össze egymással, ennek majd a végén lesz szerepe.

Ezzel a háromszöget 5 kisebb háromszögre bontottuk, ezekből 4-nek ismerjük két oldalát és a közbezárt szögüket (a másik két háromszög szögének nagysága 180°-65,4°=114,6°), tehát kiszámolhatjuk a területeiket is:

T(1)=4*6*sin(65,4°)/2=12*sin(65,4°) cm^2

T(2)=4*3*sin(114,6°)/2=6*sin(114,6°) cm^2

T(3)=3*2*sin(65,4°)/2=3*sin(65,4°) cm^2

T(4)=2*6*sin(114,6°)/2=6*sin(114,6°) cm^2

A tanultak alapján azt is tudjuk, hogy sin(65,4°)=sin(114,6°), ezért T(2) és T(4) területében átírhatjuk sin(114,6°)-ot sin(65,4°)-ra. Ekkor a 4 háromszög területe:

T(1)+T(2)+T(3)+T(4)=

=12*sin(65,4°)+6*sin(65,4°)+3*sin(65,4°)+6*sin(65,4°)=(kiemelés)

=sin(65,4°)*(12+6+3+6)=sin(65,4°)*27 cm^2 a négy háromszög (pontos) területe.

Az ötödik háromszög területét a következőkből tudjuk: amit pluszban behúztunk szakasz, az a háromszög középvonala. Tudjuk, hogy ha mindhárom középvonalat behúzzuk, akkor 4 egybevágó, így egyenlő területű háromszögre bontjuk a nagy háromszöget, emiatt a kimaradt háromszög területe 1/4 része a nagy háromszög területének. Már pedig, ha ennek a területe 1/4, akkor a maradéknak a területe 3/4 része a nagy háromszögnek, ezt pedig már tudjuk, mivel az előbb számoltuk ki: 27*sin(65,4°). 3/4-ből 1/4-hez úgy jutunk, hogy osztunk 3-mal, tehát a kiszámolt harmada, vagyis 9*sin(65,4°) cm^2 az ötödik háromszög területe.

Ezek összege pedig kiadja a nagy háromszög területét: 36*sin(65,4°) cm^2, ennyi pontosan, igény szerint ezt lehet kerekíteni.

Ha kérdésed van még a feladattal kapcsolatban, kérdezz bátran!

Az első válaszhoz hasonlóan, én is azt akartam kérdezni, hogy hányadikos vagy? Milyen ismeretekre lehet számítani:

[link]

Így, csak megerősítem az első válaszát.

A kérdéseket megelőzendő itt az egyszerűbb megoldás.

Az ábra egy korábbi feladathoz készült, az adatok mások, de a lényeg ugyanaz.

[link]

DeeDee

**********

#7, nem tudom, és nem is emlékszem, mi volt azon a képen.

A kérdésedre viszont tudok válaszolni; hosszabbítsuk meg az egyik (A-ból vagy B-ből, legyen most az A-ból) induló súlyvonalat, és ez metssze a b oldalt a K pontban. Ekkor az ABK háromszögről tudjuk, hogy az ABC háromszög területének fele (mivel a b-re merőleges magasság nem változik, de az oldal feleződött), vagyis ha az ABC háromszög területe T, akkor az ABK területe T/2 lesz.

Most vizsgáljuk a BKT háromszög területét. Tudjuk, hogy bármilyen háromszögben a súlyvonalak 2:1 arányban osztják egymást úgy, hogy a súlypont közelebb van a felezőponthoz. Ez azt jelenti, hogy a BKT háromszög területe harmada az AKT háromszögnek (megintcsak azért, mert az oldalra merőleges magasság nem változik, de az oldal harmadolódik), vagyis annak területe így T/2/3, vagyis T/6 lesz.

Így pedig az ABS háromszög területét úgy kapjuk, hogy levonjuk a kisebbik háromszög területét;

T/2 - T/6 = 3T/6 - T/6 = 2T/6 = T/3, vagyis az ABC háromszög területének harmadát kaptuk.

Biztosan van valami elegánsabb megoldás is, de ez közérthető.