Fizika feladat (? )

A nehézségi erő gyakorlatilag a differenciálegyenleted jobb oldalán konstans gerjesztésként működik.

Nyílván ez magát a lengést nem befolyásolja. Pusztán annyi történik, hogy az egyensúlyi helyzet eltolódik. Másrészt a rugóban ébredő erők szintén "eltolódnak".

Vagyis nyugalmi állapotban nem lesz zérus a rugóerő. De a sajátfrekvenciát, lengésidőt nem befolyásolja.

Legyen a tömegpont m, a rugómerevség k, a kitérés pedig y. A gerjesztést jellemezze valamely F(t) időfüggvény. A csillapítást elhanyagoljuk.

Newton II. axiómából kapjuk, hogy:

m*y"+k*y=F(t)

Leosztva m-el:

y"+(w^2)*y=F(t)/m.

w=2pi/T ún. sajátkörfrekvencia, T a lengésidő.

Mivel a diffegyenlet lineáris, állandóegyüttható, az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása próbafüggvény módszerrel kereshető.

Legyen F(t)=P(t)+G alakú, ahol G=m*g konstans gerjesztés.

Tegyük fel, hogy most P(t)=0, ekkor azonnal következik, hogy vízszintes lengéseknél az egyenlet homogén.

Függőleges rezgéseknél pedig a gerjesztés m*g=konstans, az egyenlet pedig:

y"+(w^2)*y=g alakú.

Matematikailag igazolható, hogy a partikuláris megoldás konstans, vagyis az általános megoldás, amint az ránézésre látható:

y=C1*cos(w*t)+C2*sin(w*t)+K.

Ahol K jelenti az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását, értéke pedig egyszerűen adódik, próbafüggvény módszerrel:

K=g/w^2.

Vagyis az egyensúlyi helyzet eltolódik az m*g erő irányába g/w^2-el.

(Most a koordinátarendszer y tengelyét lefelé mutatónak, g vektorral azonos értelműnek vettük fel).

Így már remélem világos.