Ezt hogyan tudnám felírni egyenlettel?

A tört x/(x+5).

Igaz az, hogy (x+14)/(x+4)=(x+5)/x.

x-re kell megoldanod az egyenletet.

ja ez a tört gondolom eddig világos x/(x+5)

a reciprok az a szám, amivel ha megszorzod a törtet 1-et kapsz

tehát (x/x+5)*reciprok=1 törtekről meg tudjuk ha kicseréljük a számlálót a nevezővel az a reciproka

x+14/(x+5-1)=(x+5)/x

ki lehet kötni, hogy x nem egyenlő -5el 0val és -4-el, mert nullával nem lehet osztani

bővíted az egyenletet x+4-el

x+14=4(x+5) (ami 4x+20)

3x=6

x=2

tehát a tört 2/7

Nem tudom, kedves kérdező, te, illetve a 4. válaszoló hogyan számoltatok, de eléggé úgy tűnik, rosszul (feltételezem, a tagonként történő egyszerűsítés klasszikus esete áll a háttérben).

Az első válaszoló helyesen felírta az egyenletet, amivel számolni kell, ebből kell kiindulni.

(x+14)/(x+4)=(x+5)/x

A törteket nem annyira szeretjük, úgyhogy szorozzuk meg az egyenletet x+4-el, illetve x-el, ekkor a következő egyenletet kapjuk:

(x+14)*x = (x+5)*(x+4)

Itt ugyanazzal folytatnám, mint amit az első/harmadik válaszoló tanácsolt:

"...felbontod a zárójeleket..."

Ugyan lesz a felbontás után az egyenletben két gonosz kinézetű X^2, de szerencsére ki fog esni, így egy egyszerű elsőfokú egyenletet kapunk.

Csak érdekességként.

Legyen

x - a tört számlálója

y - a tört nevezője

a = 14 - a számláló bővítménye

b = -1 - a nevező bővítménye

d = 5 = (y - x) - a nevező és a számláló különbsége

Az induló tört

n = x/y

A feltétel (a bővített tört)

(x + a)/(y + b) = 1/n

vagyis

(x + a)/(y + b) = y/x

A törteket eltüntetve

x(x + a) = y(y +b)

Felbontva a zárójeleket

x² + ax = y² + by

Átrendezve

ax - by = y² - x²

A jobb oldal nevezetes szorzat

ax - by = (y - x)(y + x)

A jobb oldal első tényezője ismert

ax - by = d(x + y)

A zárójelet felbontva és rendezve

x(a - d) = y(b + d)

Ebből a keresett tört

x/y = (b + d)/(a - d)

Behelyettesítve

x/y =(-1 + 5)/(14 - 5)

x/y = 4/9

vagyis a válasz a feladat kérdésére:

A számláló: 4

A nevező: 9

Ellenőrzés a feltétel szerint

y/x = (4 + 14)/(9 - 1) = 18/8

y/x = 9/4

Stimmel! :-)

DeeDee

***********

Első vagyok. Hihetetlen, hogy ilyen egyszerű számítást is elrontanak emberek.

Ahogy mondtam, zárójelet kell felbontani, de ezt számold végig, én nem akarom levezetni.

Viszont mutatok egy másik megoldást is, amihez nem kell semmilyen algebrai átalakítást végrehajtani.

A megoldandó egyenlet ugye:

(x+14)/(x+4)=(x+5)/x

Két tört akkor és csak akkor egyenlő, ha:

a) Vagy megegyezik a számláló és nevező külön-külön;

b) Vagy az egyik törtből a másik tört bővítéssel vagy egyszerűsítéssel származtatható.

Az a) állítás akkor áll fenn, ha:

x+14=x+5 és x+4=x, ami nyílván ellentmondás, így marad a

b) eset, vagyis:

x+14=C*(x+5) és x+4=C*x, ahol C konstans.

Azonnal észrevehető, hogy C=2 esetén x=4-re teljesülnek az egyenlőségek.

x=4 -et beírva az eredeti egyenletbe valóban azonossághoz jutunk.

Vagyis a tört értéke 4/9.

Láthattuk, hogy ilyen egyszerű megfontolásokkal mindenféle algebrai átalakítások nélkül közvetlen kapjuk az eredményt.

Megjegyzés: Ha mégis elvégeznénk a keresztbeszorzást, látszólag másodfokú egyenletet kapnánk, így joggal vetődik fel a kérdés, hogy az x=4 megoldás az egyetlen -e.

Azonban egyszerűen belátható, hogy az x=4 valóban egyetlen, azaz nincs több megoldás.

Az utolsó válaszolónak:

Üdítően új gondolatmenet! Tetszik!

Még akkor is, ha nem biztos, hogy mindenki azonnal észreveszi a megoldást, de a

x + 14 = C*(x+5)

x + 4 = C*x

egyenletrendszert kell csak megoldani, ami nagyon könnyű feladat.

Ugyanis

x + 14 = C*x + 5C

x + 4 = C*x

Az elsőből kivonva a másodikat

10 = 5C

és

C = 2

A második egyenletből azonnal adódik, hogy

x = 4

====

DeeDee

**********

Kedves DeeDee, örülök, ha tetszett a megoldás.

Sokszor lehet jó ötleteket alkalmazni, melyek döntő többségét sajnos nem tanítják, ill. nem is tudnak róla.