A Kört érintő egyenessel párhuzomos egyenes egyenlete? A kört érintő egyenesre merőleges egyenes egyenlete? Hány megoldás van?

Két megoldási módot fogok vázolni az elsőre, a másodikat próbáld meg ez alapján megoldani.

1. megoldási mód: parametrikus egyenletrendszerrel

Tudjuk, hogy a 2x-5y=7 egyenletű egyenessel párhuzamos a 2x-5y=p alakú egyenes, ahol p tetszőleges valós szám. Most, hogy ezt felírtuk, határozzuk meg ennek az egyenesnek és a körnek a metszéspontjait, ehhez viszont egyenletrendszerbe kell foglalnunk az egyenleteket:

I. (x+2)^2+(y-5)^2=25 }

II. 2x-5y=p

Mivel az egyenes érinti a kört, ezért csak 1 metszéspont kellene, hogy legyen, vagyis p-t úgy kell megválasztanunk, hogy az egyenletrendszernek csak 1 megoldása legyen (vagyis 1 {x;y} számpár). Ezt így fogjuk kitalálni:

A II. egyenletből x=(p+5y)/2, ezt beírjuk az I. egyenletben x helyére, de a könnyebbség kedvéért előbb bontsuk ki a zárójeleket:

x^2+4x+4+y^2-10y+25=25 /0-ra redukáljuk

x^2+4x+y^2-10y+4=0 /most beírjuk x helyére, amit kaptunk:

((p+5y)/2)^2+4*(p+5y)/2+y^2-10y+4=0 /kibontjuk a zárójelet és egyszerűsítünk:

(p^2+10py+25y^2)/4+2p+10y+y^2-10y+4=0 /szorzunk 4-gyel

p^2+10py+25y^2+8p+40y+4y^2-40y+16=0 /összevonunk és átrendezzük "ismerős" alakra

29y^2+(10p)y+p^2+8p+16=0 /itt most p-t úgy kezeljünk, mintha egy mezei szám lenne

Az egyenletrendszernek akkor lesz pontosan 1 megoldása, ha ennek az egyenletnek 1 megoldása van. Mivel ez egy másodfokú egyenlet, ezért ennek akkor lesz 1 megoldása, ha a diszkriminánsa 0. Beírjuk a diszkrimináns képletébe az együtthatókat, és megoldjuk; ebben az esetben a=29, b=10p, c=p^2+8p+16:

(10p)^2-4*29*(p^2+8p+16)=0 /kibontjuk a zárójeleket

100p^2-116p^2-928p-1856=0 /összevonunk

-16p^2-928p-1856=0 /osztunk (-16)-tal, hogy a főegyüttható pozitív legyen, és a többi pedig kisebb

p^2+58p+116=0

Megoldóképlettel megoldjuk:

p(1)=(-58+gyök(2900))/2=(-58+10*gyök(29))/2=-29+5*gyök(29)

p(2)=(-58-gyök(2900))/2=(-58-10*gyök(29))/2=-29-5*gyök(29)

Tehát 2 p-t kaptunk, vagyis 2 olyan egyenes van, amely érinti a kört (ez mondjuk különösebben nem meglepő), és párhuzamos az eredeti egyenessel:

2x-5y=-29+5*gyök(29) és

2x-5y=-29-5*gyök(29)

Ellenőrzés: ha nagyon "profik" vagyunk, akkor megoldhatjuk ezzel a "ritka ronda" számmal az egyenletrendszert, és ha 1-1 megoldáspárt kapunk, akkor ez a jó megoldás. Ha nem vagyunk túlzottan profik, akkor kerekíthetjük a jobb oldalt (pl. 2,074176 és -55,925824), viszont elég csak azt megnézni, hogy ha megoldjuk a megkapott másodfokú egyenletet, akkor a gyök alá milyen szám kerül; ha 0-hoz "nagyon közeli", akkor jól dolgoztunk, csak a kerekítésből adódhat eltérés. Másik lehetőség, hogy (megintcsak kerekítve a jobb oldalt) ábrázoljuk a két alakzatot, és látjuk, hogy nagyjából jól számoltunk. (Magánvélemény: elég nagy gyökérség ilyen típusú feladatban olyat feladni, hogy valami piszok ronda irracionális szám lesz a végeredmény, mert egyébként is nehéz ellenőrizni a megoldást, nagyon könnyű elszámolni is (nekem is vagy 3-szor kellett újraszámolnom), és akkor még csak nem is valami emberi a végeredmény. Ha egész (vagy legalábbis racionális) a megoldás, akkor ez a gondolatmenet sokkal könnyebben adja magát).

Ez egy nehéz számolási mód volt, mivel sok a buktatója, sok helyen lehet elszámolni. Nézzünk egy rövidebbet, ehhez viszont kell már egy pár dolgot tudnunk:

2. megoldási mód: vektorokkal

Tudjuk, hogy a kör (megfelelő) sugara merőleges a kört érintő egyenesre. Ebből következik, hogy a sugárra felírt vektor merőleges az egyenesre. Már pedig, ha egy vektor merőleges egy egyenesre, az az egyenes normálvektora. A megadott egyenesből kiolvasható az egyenes normálvektora: n(2;-5). Igen ám, de az egyenesnek a normálvektora a (2;-50) vektor is, a (-4;10) vektor is, a (0,01;-0,025) vektor is, és még sorolhatnám; vagyis, ha egy normálvektor koordinátáit megszorozzuk egy 0-tól különböző valós számmal, akkor ugyanúgy normálvektort kapunk, mivel csak a hossza változik meg a vektornak, az iránya nem. Tegyük fel, hogy a sugárra felírt vektor (c*2;c*(-5)). Viszont az kritérium, hogy ennek a vektornak a hossza megegyezzen a kör sugarának hosszával, a kör sugara pedig kiolvasható a kör egyenletéből; gyök(25)=5 egység. A tanultak alapján ki tudjuk számolni a fent leírt vektor hosszát:

(c*2)^2+(c*(-5))^2=5^2 /kibontjuk a zárójelet

4c^2+25c^2=25 /összevonunk

29c^2=25 /osztunk 29-cel, majd gyököt vonunk

c(1)=5/gyök(29), de szebb, ha a számlálóban van gyök; bővítünk gyök(29)-cel: 5*gyök(29)/29

c(2)=-5*gyök(29)/29

Ez azt jelenti, hogy a sugárra felírt vektor:

n(1)=(c(1)*2;c(1)*(-5))=(10*gyök(29)/29;-25*gyök(29)/29)

Ez a vektor azt mutatja meg, hogy a kör középpontjából merre mennyit kell lépnünk, hogy eljussunk a kör és az egyenes metszéspontjához. A kör középpontja a kör egyenletéből kiszámolható: (-2;5), vagyis az érintési pont: P(-2+10*gyök(29)/29;5-25*gyök(29)/29), csak törtként felírva:

P((-58+10*gyök(29))/29;(145-25*gyök(29))/29)

Ezen a ponton halad át a (2;-5) normálvektorú egyenes. Behelyettesítünk az egyenes normálvektoros egyenletébe:

2x-5y=2*(-58+10*gyök(29))/29-5*((145-25*gyök(29))/29)=(-116+20*gyök(29)-725+125*gyök(29))/29, innen

2x-5y=(-841+145*gyök(29)/29=-29+5*gyök(29), tehát a keresett egyenes:

2x-5y=5*gyök(29)-29

A másik egyenletet ezek alapján számold végig, ha gondolod; ugyanannak kell kijönnie, mint az első számításnál.

Tudom, hogy a megoldás nagyon hosszúra sikerült, és ezt sajnálom is (próbáltam a lehető legrészletesebben leírni, hogy mit-miért-hogyan számoltam), de remélem mindent megértesz belőle. Ha mégsem, ugyanitt tudsz még kérdezni :) (De ha egy mód van rá, akkor ne kelljen kiszámolnom a b) részt is).

"A megadott egyenesből kiolvasható az egyenes normálvektora: n(2;-5). Igen ám, de az egyenesnek a normálvektora a (2;-50) vektor is,..."

Itt (20;-50) akart lenni, csak a 0 valahogy lemaradt.