Egy üdülőcsoport tagjai három különböző program közül választhattak. A hajóúton 20-an, a buszos kiránduláson 18-an, a gyalogtúrán is 18-an vettek részt. Hány főből állt az üdülőcsoport?

Nem volt róla adat, de tegyük fel, hogy mindenki elment legalább egy programra.

Rajzolj fel három egymást metsző karikát, hogy jobban átlásd a feladatot.

Az egyes karikákban az emberszám a megadott 20, 18 és 18. Ha ezeket a számokat összeadjuk, akkor nem a teljes létszámot kapjuk, mert duplán számoljuk azokat az embereket, ahol két karika metszi egymást (nevezzük ezeket d, e, f-nek), és háromszor számoljuk a középső metszetet (nevezzük g-nek), ahol mindhárom karika metszi egymást.

Vagyis ha x a teljes létszám, akkor ez teljesül:

20 + 18 + 18 = x + (d+e+f) + 2g

Ha azokat, akik csak egyetlen programra mentek, a,b,c-nek nevezzük, akkor ezeket is felírhatjuk (bár nem lesz rájuk szükség):

a+b+c + d+e+f + g = x

20 = a+d+f+g

18 = b+d+e+g

18 = c+e+f+g

Ezek összeadásából jött ki a legelső összefüggés, azzal számolunk csak tovább ezek után.

Olvassuk figyelmesen a többi információt:

> pontosan kettőt háromszor annyian választottak, mint ahányan részt vettek mind a hármon

Vagyis d+e+f = 3g

Ezt felhasználva már ezt tudjuk:

56 = x + 5g

Azt is tudjuk ebből, hogy d+e+f+g = 4g, és ennél kevesebb nem lehet x, hisz még a+b+c is hozzáadódik. Ez az információ majd később, alul a megjegyzésnél jön jól.

> férfi tagjainak ötöde fiúgyerek

Nevezzük a fiúk számát n-nek, akkor a felnőtt férfiak plusz fiúk száma 5n, a felnőtt férfiaké 4n.

> a többi férfi létszáma megegyezett a nők és lányok együttes számával

Vagyis 4n megegyezik a nők plusz lányok számával.

Az össz-létszám tehát:

x = n + 4n + 4n

x = 9n

Tehát ezt tudjuk:

9n + 5g = 56

Ha az 56-ból sorban levonunk 5-öket, akkor egyedül a 36 lesz olyan szám, ami osztható 9-cel. Vagyis

n = 4

g = 4

Tehát a létszám x = 9n = 36 (amiből 4 ember volt mindhárom programon)

--

Megjegyzés: Ha nem vett részt mindenki legalább egy programon, akkor más eredmény jön ki. Ha mondjuk 1 ember nem ment sehová, akkor az egyenlet így alakul:

x-1 + 5g = 56

9n + 5g = 57

aminek a megoldása:

9·3 + 5·6 = 57 (n=3, g=6)

Amiből x = 9·3 = 27

Az is teljesül, hogy x-1 ≥ 4g, vagyis ez is teljesen jó megoldás.

Ha már ketten nem mennének semmilyen programra, akkor:

x-2 + 5g = 56

9n + 5g = 58

9·2 + 5·8 = 58 (n=2, g=8) → x = 9·2 = 18

Viszont x-2 ≥ 4g nem teljesül, tehát ez már nem megoldás.

Ha viszont sokkal többen lazsáltak, akkor megint csak lesznek megoldások. (pl. 7 hiányzó esetén a 63 fő jó megoldás lesz, 8 hiányzónál az 54, stb., számolj utána.)