Függvény intervallum meghatározása. Hogyan és miért ennyi az intervallum?

az f(x) esetében x bármilyen valós szám lehet -2 kivételével, mivel ha x=-2, akkor a nevezőben 0 lenne, és 0-val való osztás nincs értelmezve.

függvényt lederiváljuk, megkapjuk f'(x)-et

És itt jönnek az intervallumok,

f'(x)>0 akkor ha x (-inf, -6) vagy (-2, +inf) intervallumon van, továbbá x nem 0. Ugyanis -6-tól kisebb számokra a számlálóban és a nevezőben is negatív szám lesz (x^2 mindig pozitív, és mivel x<-6, így x+6 negatív => x^2*(x+6)<0. Nevezőben ekkor x+2<0 és negatív szám köbe negatív, tehát -/-=+)

-2-nél nagyobb számokra ugyanez igaz, csak pepitában, fent is pozitív, lent is pozitív, pozitív.

Na de a (-6,-2) intervallumon mi történik? ha -6<x<-2, akkor a számlálóban x+6 pozitív lesz, x^2*(x+6)>0, a nevezőben viszont (x+2) negatív lesz, hiszen x biztos kisebb mint -2, így (x+2)^3<0. +/-=-, így nem pozitív a deriváltfüggvény, ellenben ezen az intervallumon mindig negatív lesz. Akkor már csak a hiányzó foltok maradtak ki, 0,-6,-2. 0-t behelyettesítve 0/8-ot kapunk, tehát 0 zérushely. -6-ot behelyettesítve 0/-64 az eredmény, a -6 is zérushely. A -2 esetében pedig 32/0 az eredmény, 0-val osztás nincs értelmezve, így nem meglepő módon a derivált fv sincs értelmezve -2-n. Ezért vannak nyílt intervallumok mindenhol.