Hogy számíthatom ki egy háromszög területét ha ismerem a három magasságát?

Felírod a képleteket;

a*m(a)=b*m(b), innen a=b*m(b)/m(a)

c*m(c)=b*m(b), innen c=b*m(b)/m(c)

Ezzel kapsz egy háromszöget, melynek minden oldala kifejezhető b függvényében;

b*m(b)/m(a) ; b ; b*m(b)/m(c)

Ennyiből már ki tudsz számolni egy szöget, abból pedig az egyik oldalt, és ha már egy oldal megvan, akkor a terület is megadható (lévén a magasságok adottak).

Ha viszont nem ismered a koszinusztételt, akkor nincs ötletem...

Emlékszem, mikor először találkoztam egy ilyen jellegű feladattal - három magasságvonal ismeretében a háromszög adatainak meghatározása - , nagyon tetszett a megoldás, illetve a megoldás gondolatmenete.

Miután mostanában rövid időn belül két hasonló kérdés bukkant fel, úgy gondoltam, érdemes összefoglalni ennek a problémakörnek az itteni történetét.

1.kiírás

Feladat: A három magasságvonal ismeretében az eredeti háromszög szerkesztése

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

2. kiírás

Feladat: A három magasságvonal ismeretében az eredeti háromszög oldalainak számítása.

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__egyeb-kerdesek__54..

3. - 4. kiírás

Feladat: A három magasságvonal ismeretében az eredeti háromszög területének számítása

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

és

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

*********

Az elvileg korrekt általános megoldás az 1. linken található, a #4-es válaszoló írta le.

Ide is bemásolom az általa adott választ:

"Ha az a, b, c oldalakhoz tartozó magasságok rendre m_a,m_b,m_c, akkor a*m_a=b*m_b=c*m_c (hiszen mindegyik szorzat a terület kétszerese). Innen átrendezéssel azt kapjuk, hogy a háromszög oldalainak aránya megegyezik a magasságok reciprokainak az arányával. Ezt kétszer alkalmazva következik, hogy ha a magasságokból (mint oldalakból) háromszöget szerkesztünk, és ennek az új háromszögnek a magasságait tekintjük, akkor azok aránya megegyezik az eredeti háromszög oldalainak arányával.

Következésképpen: a magasságvonalakkal mint oldalakkal szerkesztett háromszög magasságvonalaiból szerkesztett háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz.

Így a szerkesztés menete:

1. Megszerkesztjük az m_a,m_b,m_c oldalú háromszöget.

2. Megszerkesztjük ennek a háromszögnek a magasságvonalait. Legyenek ezek mondjuk m'_a,m'_b,m'_c.

3. m'_a, m'_b, m'_c oldalakkal háromszöget szerkesztünk.

4. Az így kapott háromszöget arányosan felnagyítjuk úgy, hogy a magasságai m_a,m_b,m_c hosszúak legyenek.

(Ezt megtehetjük úgy, hogy az m'_a,m'_b,m'_c oldalakkal szerkesztett háromszögnek megkeressük az m'_a oldalhoz tartozó magasságát, legyen ez mondjuk m''_a. Ekkor m''_a és m_a aránya adja a hasonlóság arányát.)"

Bár itt a feladat a szerkesztés volt, a következtetése minden esetre érvényes:

"Következésképpen: a magasságvonalakkal mint oldalakkal szerkesztett háromszög magasságvonalaiból szerkesztett háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz."

Azt hiszem, ennek belátása az ilyen feladatok megoldásának az alapja!

Természetesen megcsináltam a szerkesztést, sikerült, de a válasz utolsó mondata alapján egy kis módosítást végeztem.

A mondat így hangzik: "Ekkor m''_a és m_a aránya adja a hasonlóság arányát."

Legyen

p - a keresett hasonlósági arány.

Az idézett mondat alapján

p = m_a/m"_a

Mivel

m"_a = 2*Tm'/m'_a

és

m'_a = 2*Tm/m_a

ezeket behelyettesítve a p képletébe adódik, hogy

p = Tm/Tm'

========

ahol

Tm - az m_a, m_b, m_c oldalú háromszög területe

Tm' - az m'_a, m'_b, m'_c oldalú háromszög területe

Így az eredeti háromszög oldalai

a = p*m'_a

b = p*m'_b

c = p*m'_c

========

Tehát a kiinduló magasságokból szerkesztett háromszög területének (Tm) és az ennek magasságaiból szerkesztett háromszög területének (Tm') aránya (is) megadja a hasonlósági arányt.

Vagyis a Heron képlet kétszeri alkalmazásával is megkapható az arányossági tényező, nem kell további magasságokat számolni. Ennek a számításos feladatoknál lehet jelentősége.

Ezek után könnyen megválaszolható a háromszög területének számítására vonatkozó kérdés.

Az arányosság miatt az eredeti háromszög területe az arányossági tényező négyzetével arányos, vagyis

T = p²*Tm'

Egy megjegyzés, ami nem kapcsolódik közvetlenül a feladatokhoz.

A számolgatás közben egy számomra érdekes összefüggésre akadtam.

Egy háromszögbe írható kör sugara (r) a három magasságának ismeretében az

1/r = 1/m_a + 1/m_b + 1/m_c

képlettel számítható.

(A magasságok reciprok összege egyenlő a beírt sugár reciprokával)

Természetesen a linkeken található más meggondolással készült megoldások ugyanolyan jók, mint az általam felvázolté, és külön köszönet Száldobágyi mester ábráiért. (Elnézést a személyeskedésért. :-))

Remélem, nem haszontalan ez kis gyűjtemény.

DeeDee

**********