Különböző alapú logaritmus azonos alapra hozása? SOS

2·log_x(3)+log_3(x³)+3·log_9x(3)=0

log_x(3²)+log_3(x³)+log_9x(3³)=0

Mindegyikből csináljunk mondjuk 3-as alapú logaritmust:

log_alap(valami) = log_3(valami) / log_3(alap)

log_3(3²)/log_3(x) + log_3(x³) + log_3(3³)/log_3(9x) = 0

Hmm, ha közös nevezőre hozom, akkor log_3(x)-ben harmadfokú egyenlet lesz. Nem hiszem, hogy ez volt a feladat, elírhattál valamit.

2·log_x(3) + log_3x(3) + 3·log_9x(3)=0

Átváltás 3-as alapra:

2·log_3(3)/log_3(x) + log_3(3)/log_3(3x) + 3·log_3(3)/log_3(9x) = 0

2/log_3(x) + 1/[log_3(3) + log_3(x)] + 3/[log_3(9) + log_3(x)] = 0

Legyen z = log_3(x), hogy ne kelljen olyan sokat írni.

2/z + 1/[1+z] + 3/[2+z] = 0

A közös nevező z(1+z)(2+z). A törtet nem is írom le, úgyis a számlálónak kell majd nullának lennie. A számláló:

2(1+z)(2+z) + z(2+z) + 3z(1+z) = 0

Innen már sima átrendezés, lesz egy másodfokú egyenelted:

6z² + 11z + 4 = 0

z₁ = -1/2

z₂ = -4/3

1)

log_3(x) = -1/2

x₁ = 3^(-1/2) = 1/√3

2)

log_3(x) = -4/3

x₂ = 1/∛3⁴