Elvégezve a (x+y+z) ^12 hatványozást és a lehetséges összevonásokat a, hány tagot kapunk? b, mi lesz x^4*y^3*z^5 együtthatója?

Első, igazad van, de nem hiszem, hogy ebből a kérdező már meg is tudja érteni.

A binomiális tételt a trinomiális (háromtagú) esetre kibővítve: (x+y+z)^12 = szumma (12!/(k!*l!*m!) * x^k * y^l * z^l), ahol a szummában k, l, m = 0, 1, ..., 12 úgy, hogy közben k + l + m = 12. (A második kérdésben k = 4, l = 3, m = 5)

Az összevonások elvégzése előtt, ha azonosakat is különbözőknek tekintjük, tehát pl. az x^4*y^3*z^5 együtthatóját is tekintjük, akkor 3^12 tagot kapunk. Mivel azonban már elvégeztük az összevonásokat, a példában szereplő tag is már csak egynek számít. Tekintve, hogy k + l + m = 12, azt kell megnézni, hogy 12-t hányféleképpen lehet három természetes szám összegére bontani úgy, hogy a sorrend is számít. (Hiszen pl. x^4*y^3*z^5 NEM = x^3*y^4*z^5)

12 = 12 + 0 + 0 = 11 + 1 + 0 = 10 + 2 + 0 = 10 + 1 + 1 = 9 + 3 + 0 = 9 + 2 + 1 = 8 + 4 + 0 = 8 + 3 + 1 = 8 + 2 + 2 = 7 + 5 + 0 = 7 + 4 + 1 = 7 + 3 + 2 = 6 + 6 + 0 = 6 + 5 + 1 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3 = 5 + 5 + 2 = 5 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4.

Megnézve mindegyiknél a sorrendeket ez összesen valóban 91.

A trinomiális képletből pedig x^4*y^3*z^5 együtthatója könnyen leolvasható 12! /(5!*3!*4!) = 27720, ahogy már fel van írva.