Matek. Függvények. Hogyan kell megoldani?

Szia!Függvényvizsgálat szempontjai a következők:értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása,

paritás(páros v. páratlan),zérushely,szélsőérték(maximum hely és érték ill. minimum hely és érték),monotonitás.

Ennyi jutott eszembe,remélem,hasznát veszed.

Az egészrészjelben levő kifejezést kell átalakítani, például szorzattá bontani.

Számítsuk ki a determinánst:

36-32=4, pozitív

megoldod másodfokú egyenletként nullára a megoldóképlettel.

A kapott megoldások a másodfokú polinom gyökei, jelöljük őket alfával és bétával. Ekkor az egészrészjelben levő kifejezés felbomlik (x-alfa)(x-béta) szorzattá. Ennek kell venni az egészrészét. A parabola minimuma a két gyök között félúton van. Ezután veszed figyelembe az egészrészfüggvényt.

f(x) = [ x² - 6x + 8 ]

Próbáljuk meg a belső

x² - 6x + 8

kifejezést olyan alakban felírni, ami jobban kezelhető.

x² - 6x + 8 = (x - ?) ⋅ (x - ??)

Próbáljuk meg kitalálni az alapján, hogy

(x - ?) ⋅ (x - ??) = x² - ?x - ??x + ?⋅?? = x² - (? + ??)⋅x + ?⋅??

Ez alapján

?⋅?? = 8

? + ?? = 6

Próbálkozzunk, hátha szép megoldás is van, és a kis egész számok között próbálgatással is meg lehet kapni.

? = 2

?? = 4

Valóban, 2 + 4 = 6, és 2⋅4 = 8

Ellenőrizzük:

x² - 6x + 8 helyett valóban írhatom-e a

(x - 2) ⋅ (x - 4)

kifejezést? Hamar kijön, hogy igen.

Térjünk vissza az eredeti feladathoz:

f(x) = [ x² - 6x + 8 ]

ehelyett írjuk az, hogy

f(x) = [ (x - 2) ⋅ (x - 4) ]

Sajnos itt viszont elakadtam. Az egészrészfüggvény számomra mindenképp nehéznek tűnik, akár így kapom meg a parabolát, akár közvetlenül számolgatok az eredeti x² - 6x + 8 kifejezéssel. Úgy értem, nem tudom tovább egyszerűsíteni a kifejezést algebrailag, de persze felrajzolni fel tudnám. Mindenesetre az (x - 2) ⋅ (x - 4) alapján talán könnyebb felrajzolni a parabolát (zérushelyek a 2 és a 4 pontban, minimuma nyilván pont a kettő közt, a 3-helyen, értéke -1).

Egy ilyen parabolát tulajdonképpen úgy kapok meg, hogy az ,,eredeti'' x² parabolát eltolom 3 egységgel az x tengely mentén, majd ,,lefelé'' is letolom, 1 egységgel az y tengely mentén negatív irányban.

Ezt éppen az

(x - 3)² - 1

képlet fejezné ki.

Valóban, ha utánaszámolok, stimmel:

(x - 3)² = x² - 6x + 9

és

(x² - 6x + 9) - 1 = x² - 6x + 8

éppen az eredeti

x² - 6x + 8

kifejezés.

Tehát a feladatot úgy is írhattam volna, hogy

[ (x - 3)² - 1 ]

Most itt az a jó, hogy észrevehetek még egy összefüggést:

[ (x - 3)² - 1 ] = [ (x - 3)² ] - 1

hiszen ha valamiből EGÉSZ számot vonok le, (vagy adok hozzá), akkor az egészrész pont ugyanott ,,törik meg'', mint ahol az eredeti szám egészrésze törne meg (csak persze pont a hozzáadott egész számmal magasabb/alacsonyabb helyen). Kockás papíron lehet jól látni.

Szóval a legvégső egyszerűsítés, ameddig eljutottam:

[ (x - 3)² ] - 1

Itt lehet megnézni, mit szól a témához a Wolfram Alpha:

[link]

... mármint a Wolfram Alpha-t csak a

x² - 6x + 8

kifejezésről kérdeztem meg, a végső függvény persze nem ez, hanem ennek az egészrész-függvényel komponált változata. Mindenesetre a Wolfram Alpha által javasolt átalakítások sokat segítenek.