Milyen elven kell ezeket a Matek feladatokat megoldani?

Kicsit elírtad a feladatot :)

1) Ha f(x)=2x^2-6x+16 akkor mivel egyenlő az f(t)-f(-1)/t+1 hányadosa?

Egyszerűen x helyére t-t és -1-et kell írni:

f(t)=2t^2-6t+16

f(-1)=2*(-1)^2-6*(-1)+16=2*1+6+16=4+6+16=24

Így a tört:

(f(t)-f(-1))/t+1=(2*t^2-6t+16-24)/(t-1)=(2*t^2-6t-8)/(t+1)

Kiemelünk 2-t: 2*(t^2-3t-4)/(t+1)

Tudni kellene, hogy vettétek-e már a másodfokú kifejezés felírását a gyöktényezős alakban. Felteszem, hogy igen, ekkor oldjuk meg a

t^2-3t-4=0 egyenletet. Megoldóképlettel kijön, hogy t1=-1 és t2=4. Vagyis felírható a számláló ilyen alakban: (t-(-1)*(t-4)=(t+1)*(t-4), vagyis a tört:

2*(t+1)*(t-4)/(t+1)=2*(t-4)=2*t-8, tehát ezzel egyenlő a tört értéke, amennyiben t-1-től különböző szám (mivel akkor 0-val kellene osztanunk, és ezt a luxust nem engedhetjük meg magunknak).

2)f(x)=x^1/2 * x^-2/3 akkor f(3^6)=?

Itt is egyszerűen be kell írni x helyére a 3^6-nt:

(3^6)^(1/2) * (3^6)^(-2/3)=

Hatványozás azonosságait kell használni:

-hatvány hatványozásánál az alapot a kitevők szorzatára emeljük, vagyis:

(3^6)^(1/2)=3^(6*1/2)=3^3

(3^6)^(-2/3)=3^(6*(-2/3))=3^(-4)

-Azonos alapú hatványok összeadásánál az alapot a kitevők összegére emeljük, vagyis

3^3*3^(-4)=3^(3+(-4))=3^(-1), a tanultak alapján pedig ez 1/3-dal egyenlő, vagyis:

ha f(x)=x^(1/2) * x^(-2/3), és x=3^6, akkor f(3^6)=1/3.

3. Ha csak ennyi adat van megadva az f(x) függvényről, akkor f(3) értéke bármi lehet. Ha oda lenne még írva, hogy f(x) egyenes, exponenciális függvény, logaritmikus függvény, másodfokú függvény, stb., akkor ki lehetne sakkozni, hogy mennyi, egyébként bármilyen függvényt fel lehet írni, ahol f(0)=-2 és f(1)=0, f(3) pedig annyi, amennyit mi szeretnénk.

Tétel: tetszőleges ax^2+bx+c (a;b;c valós, és a nem 0) alakú kifejezés felírható a*(x-x1)*(x-x2) alakban, ahol x1 és x2 az egyenlet gyökei. Az előző feladatban a=2 lenne, ha a 2-est nem hoztam volna ki a tört elé, tehát az én megoldásomban a=1 lesz, t1=-1 és t2=4 volt, ezért a képletben x1=-1, x2=4, x helyére pedig t-t kell írni, mivel most az ismeretlen t volt. Kis gyakorlás után rájössz, hogy miért ez a jó képlet.

3) Ennél egyszerűen táblázatot kell készíteni:

x | 0 | 1 | 2 | 3 |

f(x)| -2 | 0 | | | (két üres hely marad a táblázatban).

Mivel ez egy elsőfokú egyenlet, ezért biztos, hogy ha 1 egységgel arrébb megyünk, akkor mindig ugyanannyival fog változni a függvény értéke (figyelembevéve azt is, hogy ha balra megyünk, az a negítív irány).

Ha 0-ról 1-re lépünk, akkor a függvény értéke -2-ről 0-ra lépett, vagyis 2-vel változott. 1-ről a 2-re lépésnél szintén 2-t fog változni az alsó sor, így f(2) értéke 2 lesz. Ugyanezen logika alapján f(3) értéke 4 lesz, tehát f(3)=4.