Behelyettesítő módszer x+2y=1 és 3x+7y=6? Egyenlő együtthatók módszere 4x-3y=-2 és 2x+3y=5? ×^+y^=4 és y-x=2?

Behelyettesítő módszer: az egyik egyenletben az egyik oldalon vagy x vagy y marad, ebből látjuk, hogy y vagy y mivel "egyenlő", ezt kell beírnunk a másik egyenletbe:

x+2y=1 }

3x+7y=6}

Az első egyenletben mindkét oldalból elveszünk 2y-t, így x=1-2y-hoz jutunk. Mivel x 1-2y-nal "egyenlő", ezért ezt az "értéket" beírhatjuk x helyére:

3*(1-2y)+7y=6 /zárójelbontás

3-6y+7y=6 /összevonás

3+y=6 /-3

y=3, tehát y=3. Ezt íjuk be az első egyenletben y helyére:

x+2*(3)=1

x+6=1 /-6

x=-5. Úgy tudjuk leellenőrizni a megoldás helyességét, hogy mindét végeredményt visszaírjuk az egyenletekbe:

-5+2*3=-5+6=1, ez igaz.

3*(-5)+7*3=-15+21=6, ez is igaz, tehát a megoldás helyes.

Egyenlő együtthatók módszerével: azt kell elérnünk, hogy valamelyik ismeretlen előtt ugyanaz a szám álljon mindkét egyenletben:

4x-3y=-2

2x+3y=5

Szorozzuk meg a második egyenletben mindkét oldalt 2-ve, így 4x+6y=10-et kapunk, így az egyenletrendszer:

4x-3y=-2

4x+6y=10

Most vonjuk ki egymásból a két egyenletet; bal oldalt a bal oldalból, jobb oldalt a jobb oldalból, az mindegy, hogy melyikből vonod ki melyiket:

4x-3y-(4x+6y)=-2-10 /zárójelbontás

4x-3y-4x-6y=-2-10 /összevonás

-9y=-12 /:(-9)

y=(-12)/(-9)=4/3 ezt írjuk be valamelyik egyenletbe y helyére:

4x-3*4/3=-2 /összevonás

4x-4=-2 /+4

4x=2 /:4

x=2/4=0,5. Az előbb látott módon ellenőrizzük a megoldás helyességét.

A harmadik is megoldható a behelyettesítés módszerével, ott a második egyenletből y=x+2 lesz, amit beírunk y helyére az elsőben (ügyeljünk arra, hogy NEM tagonként végezzük el a négyzetre emelést, hanem az (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (lehetőleg begyakorolt) képletet használva).

Egy másik lehetőség: emeljük négyzetre a második egyenlet mindkét oldalát:

(y-x)^2=4, vagyis y^2-2yx+x^2=4. Most vonjuk ki egymásból a két egyenletet, ekkor -2yx=0 egyenletet kapjuk. A bal oldalon egy szorzat van, a jobb oldalon 0, és a szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így

vagy -2=0, ami nem igaz,

vagy y=0,

vagy x=0

Először legyen y=0, ezt írjuk be a második egyenletbe (azért ne az elsőbe, mert annak megoldásakor hamis gyökök is lehetnek; mindig a lehető legegyszerűbb (legkisebb fokú) egyenletbe írjunk be):

0-x=2, vagyis x=-2, ellenőrizzük.

Most legyen x=0, ekkor x-0=2 egyenletet kapjuk, vagyis x=2.