Határozza meg a mátrixok saját értékeit és sajátvektorait?

Azt biztos tudod, hogy

A·v = λ·v

Ez a λ sajátérték és v sajátvektor definíciója. (A v vektor nem nullvektor, mert akkor triviálisan igaz lenne.)

Egy rövid levezetés: (a magyarázatok miatt hosszú csak)

A·v - λ·v = 0

(itt a jobb oldalon a 0 is vektor, de nem tudom itt aláhúzni.)

Na most jó lenne kiemelni a v-t, de az A egy mátrix, a λ meg egy skalár, azokat nem lehet csak úgy kivonni egymásból. Erre van az a trükk, hogy odatesszük az I egységmátrixot (ugyanakkorát, mint az A mátrix):

A·v - λ·I·v = 0

Ez nem változtatta meg az egészet, de most már λ·I is mátrix

(A - λI)·v = 0

Ha a v nem nullvektor (és nem az), akkor ez csak akkor teljesül, ha az (A-λI) mátrix determinánsa nulla.

Vagyis felírod mindkét A mátrixnál az A-λI mátrixot, ahol persze nem tudod λ értékét, szimbólum marad. Mondjuk az elsőnél ez lesz:

[5-λ -2    -1 ]

[-2   2-λ  -2 ]

[-1   -2   5-λ]

Aztán felírod a determinánst:

(5-λ)( (2-λ)(5-λ) - (-2)(-2) ) - (-2)( -2(5-λ) - (-2)(-1) ) + (-1)( (-2)(-2) - (2-λ)(-1) )

Ezt hívják karakterisztikus polinomnak. Ennek kell 0-nak lennie. Ez egy harmadfokú egyenlet lesz λ-ra, oldd meg.

Aztán ha megvannak a lambdák (max. 3 érték), akkor már az (A-λI)·v = 0 egyszerűen egy egyenletrendszer lesz, amit meg kell oldani.

A fentinél λ₁ = 0 és λ₂ = 6 a sajátértékek (λ₃ szintén 6).

A 0-hoz tartozó sajátvektor:

A-0·I az maga az A mátrix, azzal kell felírni az egyenletrendszert:

[ 5 -2 -1]         [ 0 ]

[-2  2 -2] · v = [ 0 ]

[-1 -2  5]         [ 0 ]

A középső sort hozzáadom a felsőhöz meg az alsóhoz is, így a középső oszlopban mindenhol máshol 0 lesz.

[ 3  0 -3] [ 0 ]

[-2 2 -2] · v = [ 0 ]

[-3  0 3] [ 0 ]

A felső meg az alsó nem függetlenek egymástól, az alsó a felsőnek a mínusz egyszerese. Vagyis gyakorlatilag csak két sor maradt az egyenletből. Le is osztok, hogy 1-ek legyenek:

[ 0 0  0] [ 0 ]

[-1 1 -1] · v = [ 0 ]

[-1 0 1] [ 0 ]

Hagyományosan felírva:

-x+y-z = 0

-x+z = 0

Az x és z közül valamelyiket szabadon meg lehet választani. Legyen mondjuk x=1. (0 nem jó, mert abból a nullvektor jönne ki, az meg nem sajátvektor)

x = 1

z = 1

y = 2

Szóval v₁ = [1 2 1] oszlop alakban írva a 0-hoz tartozó sajátvektor.

----

A 6-hoz tartozó sajátvektor:

A - 6·I:

[5-6 -2 -1 ]

[-2 2-6 -2 ]

[-1 -2 5-6]

[-1 -2 -1]         [ 0 ]

[-2 -4 -2] · v = [ 0 ]

[-1 -2 -1]         [ 0 ]

Ebben az egyenletrendszerben a sorok láthatólag nem függetlenek egymástól, csak egy sor marad:

x + 2y + z = 0

Két változót tetszőlegesen megválaszthatunk. Ebből két lineárisan független vektort is csinálhatunk:

a) x=1 és y=0: z = -1 → v₂ = [1 0 -1] oszlopvektor

b) x=0 és y=1: z = -2 → v₃ = [0 1 -2] oszlopvektor

Persze ezek mindenféle lineáris kombinációja is jó.