Hányadik emeletre kell menni a liftnek, hogy összesen a legkevesebb energiával mind a 21 ember a megfelelő emeletre jusson?

Hányadikos vagy?

Ha X ember elindul a lépcsőn és minden emeleten 1 ember ott marad mert megérkezett, akkor együtt ennyi emeletet mennek:

  1+2+3+...+X = X·(X+1)/2        (Számtani sorozat összegképlete)

Mindig ez az összefüggés lesz, akár felfelé, akár lefelé indul el X ember. Ha felfelé, akkor ez 3·X·(X+1)/2 energiát jelent.

Na most az alsó N emeletre felmehet gyalog N ember a lépcsőn. A maradék 21−N embert felviszi a lift az L-edik emeletre, értelemszerűen L>N kell legyen a minimális energiához. Ott 1 ember pont helyben van, L−N−1 embernek lefelé kell elindulnia, a maradék (21−N)−(1+(L−N−1)) = 21−L embernek meg felfelé.

A kérdés: L

Az energiák:

N ember felfelé:     3·N·(N+1)/2

1 ember helyben:   0

L−N−1 ember le:   (L−N−1)(L−N)/2

21−L ember fel:     3·(21−L)(22−L)/2

Ezeknek az összege:

(Az összeg dupláját érdemes számolni, mert minek mindegyiket kettővel elosztani? Ha nem osztjuk el, akkor is ugyanott lesz minimális az energia, csak éppen dupla annyi jön így ki.)

3(N²+N) + (L² −2LN+N² −L+N) + 3(21·22 − 43L + L²)

= 4L² −2LN −130L + 4N² + 4N + 1386

Az 1386-ot nem is érdemes hozzáadni, a minimum helye (vagyis hogy milyen N és L értéknél lesz az érték a legkisebb) attól nem változik meg.

4L² − 2L(N+65) + 4N² + 4N

Ez L-ben másodfokú. (N-ben is, de az L a kérdés, szóval az a fontos.) Alakítsuk át teljes négyzetté:

(2L − (N+65)/2)² − (N+65)²/4 + 4N² + 4N

= [ 2L − (N+65)/2 ]² + [ 15N² − 104N − 4225 ]/4

Ennek a minimuma ott van, ahol az első, négyzetes tag értéke nulla. Vagyis L = (N+65)/4

Viszont ezen a négyzetes tagon kívül az N-es tagok is befolyásolják a minimumot. Alakítsuk azt is teljes négyzetté:

(a 4225-öt megint nem is érdemes leírni, mert csak a minimum értékét befolyásolja, azt nem, hogy milyen N-nél van a minimum. Persze 4-gyel sem muszáj osztani hasonló okokból)

Jobb ötletem van, mert nincs kedvem teljes négyzetté alakítani, ronda lenne. A másodfokú függvény minimuma (parabola csúcsa) (x₁+ x₂)/2-nél van, ami (ha a megoldóképletet behelyettesítjük) -b/(2a)

Ez most N = 104/30

Itt van tehát a minimuma a 15N²−104N kifejezésnek fentebb

Ez sajnos nem egész szám: 3,466...

N = 3 a legközelebbi egész, annál lesz legkisebb az N-es kifejezés értéke.

L = (N+65)/4 = 68/4 = 17, ennél lesz nulla az [L,N]-es négyzetes tag

Vagyis a 17. emelet a megoldás.