Négy futó versenyez. Hány olyan befutási sorrend van, amiben van holtverseny?

Ha 2 futó van holtversenyben és 3 időeredmény van:

- (4 alatt 2) féleképpen alakulhat, hogy melyik kettő van holtversenyben

- A 3 befutás 3! sorrendben lehet

- Tehát összesen 3!·(4 alatt 2)

Ha 2-2 futó van holtversenyben és 2 időeredmény van:

- |(4 alatt 2) féleképpen alakulhat, hogy melyik 2 kerül az első helyre

- a maradék 2 már csak egyféleképpen kerülhet a második helyre

- Tehát összesen (4 alatt 2)

Ha 3 futó van holtversenyben és 2 időeredmény van:

- 4 féleképpen alakulhat, hogy ki nincs holtversenyben

- A 2 befutás 2 sorrendben lehet

- Tehát összesen 4·2

Ha 4 futó van holtversenyben és 1 időeredmény van:

- Csak egyféle sorrend lehet

Mindez összesen ennyi:

3!·(4 alatt 2) + (4 alatt 2) + 4·2 + 1

Írtad magánban, hogy hetedikes vagy.

A fenti megoldás középiskolásoknak való, általánosban még nem kell ilyeneket tudni.

Egyébként 3!·(4 alatt 2) + (4 alatt 2) + 4·2 + 1 értéke:

3·2·1·4·3/2 + 4·3/2 + 8 + 1 = 36+6+9 = 51

Ennyinek kellene majd kijönnie abból is, hogy megpróbálunk minden lehetőséget felírni:

Nevezzük el a 4 futót valahogy, mondjuk A,B,C,D.

A befutók sorrendjét írjuk fel sorban vesszővel elválasztva. Mondjuk C,D,B,A azt jelenti, hogy C az első, A az utolsó.

A holtversenyt jelöljük bekarikázással, itt meg én zárójelben írom őket. Mondjuk (AB) azt jelenti, hogy A és B ketten vannak holtversenyben.

Ha pl. a befutó ez: C,(AD),B akkor C az első, A és D holtversenyben a második, B pedig a harmadik. A valós életben B-t nem a harmadiknak, hanem a negyediknek nevezik, de most egyszerűbb úgy, hogy harmadikot mondjunk, én azt fogok írni.

a) Lehet kettes holtverseny az első helyen:

- (AB),C,D vagy (AB),D,C

- (AC),B,D vagy (AC),D,B

- (AD),B,C vagy (AD),C,B

- (BC),A,D vagy (BC),D,A

- (BD),A,C vagy (BD),C,A

- (CD),A,B vagy (CD),B,A

Ez tehát 12 lehetőség.

b) Lehet kettes holtverseny a második helyen.

Ez pont ugyanannyiszor lehet, mint az első helyen is. Ugyanaz a táblázat jönne ki, csak az első és a második befutók fel lennének cserélve. Tehát pl. az első lehetőség az lenne, hogy

C,(AB),D

Szóval ebből is 12 lehetőség van.

c) Lehet kettes holtverseny a harmadik helyen. Ez is ugyanígy 12 lehetőség.

d) Lehet dupla kettes holtverseny:

- (AB),(CD)

- (AC),meg a maradék kettő, nem akarok arra koncentrálni (egyébként BD), koncentráljunk az elsőre

- (AD),meg a maradék

- (BC), ...

- (BD), ...

- (CD), ...

Több nincs. Ez 6 lehetőség. Ha belegondol az ember, ez pont fele, mint az egyszer kettes holtversenyben (ami a legelső táblázat fentebb), hiszen csak annyi történt, hogy aki fentebb 2. és 3. helyen futott be, azok egyszerre futnak be, tehát a kettejük közötti sorrend nem számít.

e) Lehet hármas holtverseny az első helyen:

- (ABC),D

- (ABD),C

- (ACD),B

- (BCD),A

Ez a 4 lehetőség van. A legegyszerűbb úgy belátni ezt, hogy a második helyen a 4 futó közül bármelyik lehet.

f) Lehet hármas holtverseny a második helyen

Ez is 4 lehetőség. A táblázat ugyanaz, mint az előbb, csak fel van cserélve az első és a második.

g) Lehet négyes holtverseny (az első helyen)

Ez egyetlen lehetőség: (ABCD)

Összesen tehát 12+12+12+6+4+4+1 = 36+10+5 = 51

Így is kijött ugyanaz a szám szerencsére :)