A 2014-ben a nullától különböző számjegyek szorzata 8. Hány olyan háromjegyű szám van, melyben a számjegyek szorzata legfeljebb 8? Válaszod indokold!

Ha a számjegyek x;y;z, akkor fennáll, hogy x*y*z≤8, másképp x*y*z≤2*2*2, tehát, azt kell megvizsgálnunk, hogy hány 1-es van a számban.

1. Eset: 0 darab 1-es van, ekkor csak a 222 lesz jó megoldás (1 lehetőség).

2. eset: 1 darab 1-es van, ekkor x*y≤8-nak kell teljesülnie. Ezek:

(x;y)=(4;2);(3;2);(2;2);(2;3);(2;4)

Mindegyik esetben 3 helyre tehető az 1-es; vagy az első szám elé, vagy a kettő közé, vagy a második mögé, így 3*5=15 lehetőség van ilyen szám kreálásához.

3. eset: 2 darab 1-es van, ekkor x≤8-nak kell teljesülnie, ezért

(x)=(8);(7);(6);(5);(4);(3);(2)

Itt fordítva kell gondolkoznunk, mint az előbb: ezeket a számokat kell az egyesekhez rakni, amit 3-féleképp tehetünk meg; vagy az első helyiértékre, vagy középre, vagy a végére rakjuk, ezért 7*3=21 ilyen szám van.

4. eset: 3 1-es van benne: 111, erre igaz, hogy 1*1*1≤8, ezért ez is egy lehetőség.

Összesen 1+15+21+1=38 lehetőség van ilyen számokat találni.

(Ha úgy vesszük, hogy a 0 nem szorzó, akkor ugyanez a gondolatmenet, csak a 0-kat is bele kell számolni, viszont a 0 nem mehet a százas helyére).