(Térgeometria feladatok) Egy forgáshenger alapja 10cm2 területű, térfogata 80 cm3. Mekkora a felszíne? Az alapsíkra merőlegesen, egy 2 cm-es húr mentén elvágjuk a hengert. Mekkora a nagyobbik rész felszíne?

A körkúp palástjának a területe 15^2*π*120°/360°=75π. A palást területe r*π*a képlettel is kiszámolható, ahol a a kiterített palást (körcikk) sugara, esetünkben 15cm, r pedig a kúp alapkörének sugara:

r*π*15=75π, 15π-vel osztva r=5.

A magasság (M), az alkotó (a) és az alapkör sugara derékszögű háromszöget alkotnak, ahol az alkotó az átfogó, ezért a Pitagorasz-tétel felírható:

5^2+M^2=15^2

25+M^2=225 /-25

M^2=200, ebből M=√200=10*√2

A kúp alapterülete 5^2*π=25π

A térfogata az alapterület*magasság/3 képlettel számolva:

25π*10*√2/3 cm^3, igény szerint kerekíthető a végeredmény.

Ez meg az első kérdésre a válasz, ha nem szúrtam el.

V=80 T=10

V=T*h -> h=V/T -> h=80/10=8cm

T=r^2*Pí -> r=gyök(10/Pí) -> r=gyök(10/Pí)=~1,78cm

K=2*r*Pí -> K=2*1,78*Pí=~11,18cm

A(palást)=h*K -> A(palást)=8*11,18=94,4cm^2

A=2*T+A(palást) -> A=2*10+94,4=114,4cm^2

Többre most nincs időm, sorry.

Ha az alapél 10 cm, akkor az alapterület 100 cm^2, a fedőlapé 50cm^2, vagyis a fedőél √50 hosszú.

Szükségünk van az oldallap-trapéz magasságára; tudjuk a területét és a területképletét: (a+f)*m/2, ahol a az alapél, f a fedőél, m a trapéz magasságának a hossza. Behelyettesítve:

(10+√50)*m/2=100, innen m=200/(10+√50).

Vegyük a test az alapokra merőleges fősíkmetszetét;ez egy trapéz lesz, ahol az alapok az alap- és fedőélek hosszával egyenlők, vagyis 10 és √50, szárai, az előbb kiszámolt érték, vagyis 200/(10+√50).

Vetítsük le a rövidebbik alapot a hosszabbikra, ekkor ez a levetített rész ugyanakkora lesz, mint a levetített szakasz, a másik két rész pedig egyenlő hosszú, tehát egy kis rész (10-√50)/2 hosszú lesz. Ennek a trapéznak a magassága egyenlő a test magasságával (M). A kis rész, a testmagasság és a szár egy derékszögű háromszöget alkot, amire megint felírható a Pitagorasz-tétel:

((10-√50)/2)^2+M^2=(200/(10+√50))^2

Az egyszerűség kedvéért itt már kerekített értékekkel dolgozom:

2,1447+M^2=137,258 /-2,1447

M^2=135,1133, amire M=11,6238cm.

Ebből már a térfogat is kiszámolható; ha az alapterületet T-vel, a fedőterületet t-fel, a magasságot M-mel jelölöm, akkor (M/3)*(T+√(t*T)+t). Behelyettesítve: (11,6238/3)*(100+√(√50*100)+50)=~3321cm^3.