Mennyi az összege az összes kétjegyű számnak, amelynek 12 osztója van?

Egy szám osztóit úgy határozhatjuk meg, hogy prímtényezős alakban felírjuk, a prímtényezők kitevőihez hozzáadunk egyet, és az így kapott számokat összeszorozzuk, ekkor a szám osztóinak számát kapjuk meg, például:

35-nek 4 osztója van: 1;5;7;35, prímtényezős felbontása

5^1*7^1, a kitevőkhöz hozzáadunk 1-et, majd összeszorozzuk: (1+1)*(1+1)=2*2=4, tehát 4 osztója van, és tényleg annyi van.

Vagy vegyük a 60-at; osztói: 1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60, ez összesen 12 darab osztó (milyen szerencse, hogy egyet találtunk :D ). A 60 prímtényezős felbontása 2^2*3^1*5^1, a fenti megállapítás alapján (2+1)*(1+1)*(1+1)=3*2*2=12 osztója van.

Tehát olyan prímfelbontású számokat keresünk, ahol a kitevőkhöz 1-et hozzáadva majd azokat összeszorozva 12-t kapunk.

Ezek a következő esetek:

1. eset: 1 prímszám 11. hatványából áll a szám. Ez az eset azért nem nyerő, mert ha a legkisebb prímszámot emeljük 11. hatványra, már akkor is egy négyjegyű számhoz jutunk: 2^11=2048 (igaz ennek 12 osztója van).

2. eset: 2 prímszámból áll, ekkor az egyik prímszámnak 2., a másiknak 3. hatványon kell szerepelnie, mivel ekkor (2+1)*(3+1)=3*4=12 lesz.

Érdemes megint a legkisebb prímszámmal kezdeni a sort:

Ha a szám felosztásában 2^2 szerepel, akkor x prímre 2^2*x^3<100 teljesülnie kell (mivel csak a kétjegyű számokkal számolunk), egyenletrendezés után x<köbgyök(25)=~2,9, vagyis x értéke csak 2 lehet, ekkor a szám, amit kaptunk 2^2*2^3=2^5, de ez viszont azért nem jó, mert így a számnak csak 5+1=6 osztója lesz (ellenőrizhető, hogy a 32-nek csak 6 osztója van; 1;2;4;8;16;32). Most legyen 3^2 a prímtényezős felosztásban, ekkor 3^2*x^3<100, vagyis x^3<~11,11, vagyis x<köbgyök(11,11)=~2,2, így x=2 jöhet csak számításba, így a 3^2*2^3=72 számhoz jutunk (ellenőrizhető, hogy hány osztója van). Következő prímszámunk az 5, így 5^2*x^3 alakú számokra vadászhatunk: 5^2*x^3<0, x^3<4, x<köbgyök(4)=~1,6, ennél kisebb prímszám nem létezik. Ebben az esetben nagyobb prímszámmal már nem érdemes foglalkozni.

3. eset: 3 prímszámból áll a szám, ez akkor lehet, ha a prímtényezőkben 2, 1 és 1 van, mert így (2+1)*(1+1)*(1+1)=3*2*2=12 teljesül. Első körben 2^2*x*y alakú a szám, így 2^2*x*y<100, vagyis x*y<25. Az első esetben mát láttuk, hogy nem érdemes olyannal foglalkozni, amikor az ismeretlen egyenlő a megadott számmal, itt sincs másképp, tehát x és y értéke 2-től és egymástól különböző. Olyan prímpáros kell, aminek a szorzata kisebb 25-nél. Ezek a lehetőségek: 3*5(=15), 3*7(=21), tehát a számaink:

2^2*3*5=60

2^2*3*7=84

A következő 3^2, vagyis 3^2*x*y<100, vagyis x*y<11,11, ezekből egyik sem lehet 3-as, de egymással egyenlők sem lehetnek. 1 eset lehet: 2*5, így a szám: 2*3^2*5=90.

A következő jelölt az 5^2: 5^2*x*y<100, vagyis x*y<4, ennek pedig nincs jó megoldása.

4. eset: 4 prímszámból áll, de erre nem tudunk esetet felírni.

5. eset: 5 prímszámból áll, de ezzel se tudunk mit kezdeni.

6. eset: 6 prímszámból áll, ekkor az összes 1. hatványon van. A legkisebb ilyen is nagyobb 100-nál; 2*3*5*7*11*13=2310.

Több eset nincs.

Tehát a számok összege: 72+60+84+90=306.

Az első hozzászóló válasza alapján 1 eset kimaradt; az 1 esetet másik alakban is fel lehet írni: az egyik tag 5. hatványon van, a másik elsőn, így (5+1)*(1+1)=6*2=12.

2^5*x<100

x<3,125, ebből nekünk x=3 csak a jó, így 2^5*3=96 az a szám, ami kimaradt.