Egy szimmetrikus trapéz alapjai 14 cm és 8 cm szárai 5 cm hosszúak. Forgassuk meg a trapézt a rövidebbik és hosszabb alapja körül. Mekkora a felszíne és a térfogata?

Először számoljuk ki a trapéz magasságát. Ha a rövidebbik alapot "merőlegesen levetítjük" a hosszabbik alapra, akkor az a rész biztosan 8 cm-es lesz, az alap maradék része 14-8=6 cm-es. A maradék két szakasz egyenlő hosszú, így 6/3=3cm hosszú. Ez a kis rész, a magasságvonal (m) és a szár egy derékszögű háromszöget alkot, amire felírható a Pitagorasz-tétel; a szár az átfogó, így

3^2+m^2=5^2

9+m^2=25 /-9

m^2=16 /gyökvonás

m=4, tehát a magassága 4cm.

Először forgassuk el a hosszabbik alap mentén. Ezt a testet szétdarabolhatjuk két forgáskúppá és egy hengerré, így a test térfogata V(forgástest)=2*V(forgáskúp)+V(henger).

A forgáskúpról a következőket tudjuk: alapkörének sugara a trapéz magassága, vagyis 4cm, magassága az alap "kis része", ami 3cm, így a térfogata 4^2*π*3/3=16π

A henger térfogata: magassága a rövidebbik alap, azaz 8cm, alapkörének sugara a trapéz magassága, vagyis 4cm, így a térfogata 4^2*π*8=128π.

Ebből a forgástest térfogata: 2*16π+128π=160πcm^3=~502,655cm^3

Felszíne: a forgástest felszíne: V(forgástest)=2*palást(forgáskúp)+palást(henger).

A forgáskúp palástjának területe r*π*a, ahol r az alapkör sugara, a az alkotója (a forgáskúp csúcsának és az alapkör kerületének távolsága), esetünkben az alapkör sugarát már megállapítottuk, az 4cm, az alkotó a trapéz szára, vagyis 5cm, így a palást területe 4*π*5=40πcm^2.

A hengerpalást területe alapkör kerülete*magasság=2*4*π*8=64π.

Így a felszíne 2*40π+64π=144π=~452,39cm^2.

A feladat másik részét ugyanígy kell megoldani; ott a forgástest egy hengerből kivágott két forgáskúp lesz.