Mekkora területű részekre bontja a 10 cm hosszúságú húrja a 8 cm sugarú kört? Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 14 cm átlója 10 cm szára 8 cm? Mekkora a trapéz területe, kerülete és hegyes szöge?

Az elsőnek talán ez a megoldása:

[link]

1. A 8 cm sugarú kör területe 8^2*3,14159=201,06176.

Rajzoljunk egy kört, húzzuk be egy, az átmérőtől különböző húrját, majd a húr két végpontját kössük össze a kör középpontjával, ekkor egy egyenlő szárú háromszöget kapunk a körön belül, ahol a szárak a kör sugarai (mivel a körív egy-egy pontját a kör középpontjával kötöttük össze, ami a kör sugara), alapja a húr. Húzzuk be ennek a háromszögnek az alaphoz tartozó magasságát, amiről tudjuk, hogy felezi a szárak hajlásszögét (Ł), és az alapot, ráadásul derékszöget zár be az alappal. Tehát a magasságvonal két derékszögű háromszörgre bontja az egyenlő szárú háromszöget; befogói a magasságvonal és az alap fele, átfogója a kör sugara. A középponti szögre felírható az 5 cm-es (befogó) és a 8 cm-es (átgogó) oldalakra a szinusz szögfüggvényt:

sin(Ł/2)=5/8 /függvénytáblából vagy számológépből

Ł/2=38,68° /*2

Ł=77,36°

Vagyis a középponti szög 77,36°-os.

Számoljuk ki a körcikk területét; a körcikk területe úgy aránylik a kör területéhez, mint középponti szöge a 360°-hoz, vagyis

T(körcikk)/T(kör)=Ł/360°, vagyis T(körcikk)=T(kör)*Ł/360°=r^2*3,14159*Ł/360°=

=8^2*3,14159*77,36°/360°=~43,206 cm^2

A háromszög területe a szinuszos területképletből kiszámolható:

T(háromszög)=a*b*sin(közbezárt szög)/2=8*8*sin(77,36°)/2=30,26432 cm^2

A kisebb körszelet területét megkpjuk, ha a körcikkből kivonjuk a körszelet területét:

T(körszelet)=T(körcikk)-T(háromszög)=43,206-30,26432=12,94168 cm^2

A másik körszelet területe: T(KÖRSZELET)=T(kör)-T(körszelet)=

=201,06176-12,94168=188,12008 cm^2.

2. Kössük össze a csúcsokat a forgásközépponttal, ekkor 10 egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahol a szárak a sokszög köré írható körének sugarai. Mivel ezek a háromszögek a köréírható kört 10 egyenlő részre osztják, és a kör középponti szöge 360°, ezért 1 háromszög középpontnál fekvő szöge 36°-os.

Az előző feladatban leírt módon és okból húzzuk be a magasságvonalat, ekkor megint felírható a szinusz:

sin(18°)=3,5/r, innen

r=3,5/sin(18°)=11,32386 cm.

Innen kiszámolható a háromszög területe: 11,32386^2*sin(36°)/2=37,68674 cm^2, és mivel a 10-szög 10 ilyen háromszögből áll, ezért a területe 376,8674 cm^2

A köré írt kör sugara: 11,32386^2*3,14159=402,8455.

A köréírható kör a 10-szög 402,8455/376,8674*100=106,893%-a.

5. koszinusztétellel kell számolnunk:

c^2=a^2+b^2-2ab*cos(a és b hajlásszöge)

Ez gyakorlatikag a Pitagorasz-tétel kiterjesztése tetszőleges háromszögre (másképp: a koszinusztétel speciális esete a Pitagorasz-tétel; ott a két befogó hajlásszöge 90°, és mivel cos(90°)=0, így a -2ab*cos(közbezárt szög) 0 lesz, így marad meg a Pitagorasz-tétel).

Behelyettesítve:

21^2=20^2+13^2-2*20*13*cos(Ł)

441=400+169-520*cos(Ł) /-569

-128=-520*cos(Ł) /:(-520)

0,24615=cos(Ł), innen Ł=75,75°

Most helyettesítsük be máshogy az oldalakat:

20^2=21^2+13^2-2*21*13*cos(ß)

400=441+169-546*cos(ß) /-610

-210=-546*cos(ß) /:(-546)

0,3846=cos(ß), innen ß=67,38°

Harmadjára is felírható lenne a koszinusztétel, de tudjuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik oldal y=180°-75,75°-67,38°=36,87°.