Newton-Raphson metódus két változóval?

Mármint gondolom fordítva, akkor lehet leállni, ha a gradiens abszolút értéke kisebb 1-nél.

Először meg kell csinálni a gradienst (első deriváltakat) valamint a Hesse mátrixot (vagyis a második deriváltakat:)

∂f/∂x = 8x − y

∂f/∂y = 2y − x

∇f(x,y) = (8x-y, 2y-x)

∂²f/∂x² = 8

∂²f/∂y² = 2

∂²f/∂x∂y = −1 és ez persze a másik sorrendben (∂²f/∂y∂x) is ugyanennyi

Tehát a H mátrix:

[ 8 -1 ]

[-1  2 ]

(Az egyébként már látszik, hogy mivel a Hesse determináns 8·2−1 = 15 pozitív és a mátrix bal felső eleme is pozitív, ezért ahol a gradiens nulla, ott a függvénynek lokális minimuma van. Ezt fogja megtalálni a Newton-Raphson.)

A Hesse mátrix szerencsére konstans, elég tehát egyszer invertálni. A determinánsa 15, így az inverze: H⁻¹ =

[ 2  1 ]

[ 1  8 ] · 1/15

Kezdetben u = (1,1)

∇f(u) = (8·1-1, 2·1-1) = (7, 1) ennek az abszolút értéke még nagy

következő u:

u − H⁻¹(u)·∇f(u) = (1,1) − H⁻¹(u)·(7,1) = ... csináld meg a mátrixszorzást (a 15-tel se felejts el osztani)

Az jön ki, hogy az új u = (0, 0)

Ennek a hosszá már 0, kisebb 1-nél, kész vagyunk. (Ha nagyobb lenne, újra kellene csinálni a fenti mátrixozást)

Tehát x=0, y=0-nál van minimuma a függvénynek.