Valaki elmagyarázná Érthetően a Binomiális tétel lényegét?

A legfontosabb tudnivaló róla, hogy kis b-vel írják (mint szinte minden melléknevet).

Ezenkívül ez nem más, mint egy nevezetes azonosság. Nyilván megtanultad a képletet, hogy (a+b)^2=... Ez azért van, hogy ne kelljen mindig újra elvégezni a négyzetre emelést, elég egyszer levezetni. Aztán valószínűleg ismered azt is, hogy (a+b)^3, de a függvénytáblázatodban biztosan benne van. Na most ezt nem csinálták meg egyesével a következő egymillió kitevőre, hanem Newton papa összefoglalta a binomiális tételben, ami az (a+b)^n kifejtése.

Ha sorbarakod kifejtve, hogy (a+b)^0, (a+b)^1, (a+b)^2, (a+b)^3, akkor megfigyelheted, hogy a bennük levő együtthatók rendre:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

Ez pedig nem más, mint a Pascal-háromszög, amely a binomiális együtthatókat (n alatt a k) tartalmazza. Ebből lehet egy nagyobb n esetén tudni, hogy milyen együtthatókat kell használni.

Binomiális tétel: (a+b)^n=(n alatt a 0)*a^n+(n alatt az 1)*a^(n-1)*b+...+(n alatt a k)*a^(n-k)*b^k+...+(n alatt az n-1)*a*b^(n-1)+(n alatt az n)*b^n

Bizonyítás: tudjuk, hogy (a+b)^n=(a+b)(a+b)...(a+b), ez egy n tagú szorzat (n pozitív egész). Ha ezt a szorzatot meg akarnánk oldani, akkor pl. az első tagból kiválasztjuk az a-t, a másodikból is az a-t, a harmadikból a b-t, és így tovább, mindegyik tényezőből kiválasztjuk az egyik betűt, ekkor ha k tagból választunk ki a-t, akkor a maradékból n-k darab biztosan b, tehát ezt a szorzatot állítottuk elő: a^k*b^(n-k). Ennek már csak az együtthatója a kérdés, vagyis hány darab van ebből. Alapszintű kombinatorikai feladat: n darab dobozból k darab a-t választunk ki, ezt (n alatt a k)-féleképpen tehetjük meg, tehát (n alatt a k)*a^k*b^(n-k) tagja lesz az összegnek. Ez tetszőleges k-ra így fog megvalósulni, tehát a tétel igaz.

Használjuk a tételt:

(3x-4)^6=(6 alatt a 0)*(3x)^6+(6 alatt az 1)*(3x)^5*4+(6 alatt a 2)*(3x)^4*4^2+(6 alatt a 3)*(3x)^3*4^3+(6 alatt a 4)*(3x)^2*4^4+(6 alatt az 5)*3x*4^5+(6 alatt a 6)*4^6=

=729x^6+5832x^5+19440x^4+34560x^3+34560x^2+18432x+4096